第一章 第2节 矩形的性质与判定-2021-2022学年九年级上册初三数学同步课时培优作业（北师大版）

∴BD=AD.在Rt△ADO 中, ∵AO = AD2-OD2 = AD2- (BD2 ) 2 = AD2- (AD2 ) 2 = 3 2AD , ∴AC=2AO= 3AD.∴BD∶AC= 3∶3. 2.C 3.B 4.(2+1,1) 提示:由∠AOC=45°,OC= 2, 易得C(1,1). 又BC=OC= 2,∴B(1+ 2,1). 5.23 6.C 提示:设∠B=x.由题意知,AB=AE, AF=AD,∠B=∠D,∴∠AEB=∠B=x, ∠AFD=∠D=x. ∴∠BAE=∠DAF=180°-2x. 又∵在菱形ABCD 中,∠BAD+∠B=180°, ∴∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠B=180°, 即2×(180°-2x)+60°+x=180°. 解得x=80°. 7. 12 5 8.2 提示:由题意可知,以D,D',B',B 为顶点 的四个小三角形是等边三角形,故阴影部分的周长= BD+B'D'=1+1=2. 9.解:(1)由题意知,∠FDC=∠DCA=90°, ∴EF∥CA,∴∠AEF=∠CAE. ∵AF=CE=AE,∴∠F=∠AEF=∠EAC =∠ECA. 又AE=EA,∴△AEC≌△EAF. ∴EF=CA.∴四边形ACEF 是平行四边形. (2)当∠B=30°时,四边形ACEF 是菱形.理由: ∵∠B=30°,∠ACB=90°,∴AC= 1 2AB. ∵DE 垂直平分BC,∴BE=CE. 又AE=CE,∴CE= 1 2AB. ∴AC=CE.∴▱ACEF 是菱形. 10.解:(1)①证 明:∵△ABC 是 等 边 三 角 形, ∴AB=AC,∠BAC=60°.∵∠DAF=60°,∴∠BAC =∠DAF,∴∠BAD=∠CAF. ∵四边形ADEF 是菱形,∴AD=AF. ∴△ABD≌△ACF.∴∠ADB=∠AFC. ②结论“∠AFC=∠ACB+∠DAC”成立. (2)结论“∠AFC=∠ACB+∠DAC”不成立. 证明:∵△ABC 为等边三角形, ∴AB=AC,∠BAC=60°.∵∠DAF=60°, ∴∠BAC=∠DAF,∴∠BAD=∠CAF. ∵四边形ADEF 是菱形,∴AD=AF. ∴△ABD≌△ACF.∴∠ADC=∠AFC. 又∵∠ACB=∠ADC+∠DAC, ∴∠AFC=∠ACB-∠DAC. ∴∠AFC,∠ACB,∠DAC 之间的等量关系是 ∠AFC=∠ACB-∠DAC(或 这 个 等 式 的 正 确 变 式). (3)补全图形如图. ∠AFC,∠ACB,∠DAC 之 间 的 等 量 关 系 是 ∠AFC=2∠ACB-∠DAC(或∠AFC+∠DAC+ ∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式). 第2节 矩形的性质与判定 典型例题 例1 解:∵矩形的对边相等,对角线相等且互 相平分, ∴AB=CD,AD=BC,AC=BD=2AO,AO= CO=DO. ∵AC+BD=80, ∴AC=BD=40,AO=CO=DO=20. ∵(AD+AO+DO)+(CD+DO+CO)=136, ∴AD+CD=56.① ∵(AD+AO+DO)-(CD+DO+CO)=8, ∴AD-CD=8.② 由①②,得AD=32,CD=24. ∴矩形的各边长分别为32,24,32,24. 矩形ABCD 的面积=AD·CD=32×24=768. 变式训练1 20 提示:在Rt△ABC 中,由AB=5, BC=AD=12可得AC=13. 又OM= 1 2CD=2.5 , BO= 1 2AC=6.5 , AM= 1 2AD=6 , 故四边形 ABOM 的周长=AB+BO+OM + MA=5+6.5+2.5+6=20. 变式训练2 D 例2 解:连接EG、DG. ∵CE 是AB 边上的高,∴CE⊥AB. ∵在Rt△CEB 中,点G 是BC 的中点, ∴EG= 1 2BC. 同理可证,DG= 1 2BC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·2· ∴EG=DG= 1 2BC. 又∵点F 是ED 的中点,∴GF⊥DE. 变式训练3 解:在Rt△ABC 中,∵AC=3,BC=4, ∠C=90°,∴AB= AC2+BC2=5. 连接CE,∵点E 为AB 的中点,∴CE= 1 2AB =AE