第一章 第3节 正方形的性质与判定-2021-2022学年九年级上册初三数学同步课时培优作业（北师大版）

又∵MN⊥DH 交CB 于点P, ∴MP⊥BC,CP=PB. ∴△BMC 为等腰三角形,即 MB=MC. 第3节 正方形的性质与判定 典型例题 例1 解:∵BD 是正方形ABCD 的对角线, ∴∠DBC=∠ABD=45°. 又∵BE=BC,∴∠BCE=∠BEC. ∴∠BCE= 1 2 (180°-∠DBC) = 1 2 (180°-45°)=67.5°. ∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-67.5°= 22.5°. 变式训练1 135° 例2 解:∵四边形ABCD 为正方形,点O 是对角线 的交点, ∴DO=BO,AD∥BC.∴∠EDO=∠FBO. 又∵∠DOE=∠BOF,∴△DOE≌△BOF. ∴S△DOE=S△BOF. ∴S阴影 =S△DOE +S△COF =S△BOF +S△COF =S△BOC. 又∵S△BOC= 1 4S正方形ABCD= 1 4 , ∴阴影部分的面积是 1 4. 变式训练2 C 提示:证△AOE≌△BOF,得AE= BF=4,BC=4+3=7. 变式训练3 B 提示:如图,取 BC 中点E,连接 AE,作 EF⊥AP 于 点 F,连 接 EP.证 △ABE≌ △ADQ≌△AFE 及△EFP≌△ECP,得PC=PF, AD=AF.设PC=x,则PD=8-x,AP=8+x.在 Rt△ADP 中,由勾股定理,得82+(8-x)2=(8+ x)2.解得x=2. 例3 证明:连接AC、BD,则AC=BD,AC⊥BD. ∵四边形APDH、APBE 均为平行四边形, ∴HD􀱀AP,BE􀱀AP.∴HD􀱀BE. ∴四边形 HDBE 是平行四边形.∴HE􀱀BD. 同理,可证四边形DGFB、ACGH 和ACFE 是平 行四边形. ∴BD􀱀FG,AC􀱀EF.∴FG􀱀HE. 又∵AC=BD,∴HE=BD=AC=EF. ∴四边形EFGH 是菱形. 又∵AC⊥BD,HE∥BD,EF∥AC, ∴HE⊥EF. ∴菱形EFGH 是正方形. 变式训练4 证明:如图所示,作DG⊥AB 于点G. ∵DE⊥BC,DF⊥AC,∠C=90°, ∴四边形CEDF 为矩形. 又∵AD 平分∠FAG,BD 平分∠EBG, ∴DF=DG,DE=DG.∴DE=DF. ∴矩形CEDF 为正方形. 例4 (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠DAB=∠C,AD=CB,AB=CD. ∵点E、F 分别是AB、CD 的中点, ∴AE= 1 2AB ,CF= 1 2CD. ∴AE=CF.∴△ADE≌△CBF. (2)解:当 四 边 形 BEDF 是 菱 形 时,四 边 形 AGBD 是矩形.证明如下: ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC. ∵AG∥BD, ∴四边形AGBD 是平行四边形. ∵四边形BEDF 是菱形, ∴DE=BE. 又∵AE=BE,∴AE=BE=DE. ∴∠DAE=∠ADE,∠EDB=∠EBD. ∵∠DAE+∠ADE+∠EDB+∠EBD=180°, ∴∠ADE+∠EDB=90°,即∠ADB=90°. ∴▱AGBD 是矩形. 变式训练5 (1)证明:∵△ABD 和△FBC 都是等边 三角 形,∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA= 60°,∴∠DBF=∠ABC.又∵BD=BA,BF=BC, ∴△ABC≌△DBF(SAS).∴AC=DF=AE.同理, △ABC≌△EFC.∴AB=EF=AD.∴四边形DAEF 是平行四边形. (2)① ∠BAC=150° 提 示:因 为 若 四 边 形 DAEF 为矩形,则∠DAE=90°.故∠BAC=360°- 60°×2-90°=150°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·4· ②AB=AC≠BC 提示:因为四边形DAEF 为 菱形,则 AD=AE,即 AB=AC.但若 AB=AC= BC,则A、F 两点重合. ③∠BAC=60° 提示:此时 D、A、E、F 四点 共线. 巩固练习 1.D 2.C 3.C 4.D 提示:AC=BD 时,只能判定▱ABCD 是 矩形. 5.C 提 示:每 一 个 重 叠 部 分 的 面 积 都 等 于 1 4S正方形 ,n个正方形有(n-1)个重叠的面积,故重 叠