专题05 圆的标准方程与一般方程（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题05 圆的标准方程与一般方程 一、考情分析 二、考点梳理 知识点一 圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r＞0) 圆心C：(a，b) 半径：r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 圆心： 半径：r＝ 知识点二 点与圆的位置关系 (1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种情况 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)． ①(x0 －a)2＋(y0 －b)2＝r2⇔点在圆上； ②(x0 －a)2＋(y0 －b)2>r2⇔点在圆外； ③(x0－a)2＋(y0 －b)2<r2⇔点在圆内． 三、题型突破 重难点1 圆的方程 求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法． （1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 例1．（1）（2021·江苏高二专题练习）（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】 求出实数的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】 由已知条件可得，即，解得. 故选：AD. （2）．（2020福建莆田一中高二月考）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D， 点在圆上，排除A，故选C. （3）．（2021·河南许昌市·高一期末）以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题中条件，得到圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】 以点为圆心且与轴相切的圆的半径为， 故圆的标准方程是. 故选：C. （4）．（2020·湖北）以，两点为直径端点的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求出线段中点坐标即为圆心，再求出即为直径，即可得出圆的方程. 【详解】 可知线段的中点坐标为，即为， ， 以，两点为直径端点的圆的圆心为，半径为5， 则方程为. 故选：D. 【点睛】 本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题. 【变式训练1】．（1）（2020·全国高二课时练习）圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 将圆的一般方程配方得圆的标准方程. 【详解】 将配方得标准方程为． 故选：C. 【点睛】 本题考查将圆的一般方程配方得圆的标准方程，属于基础题. （2）．（2020·全国高二课时练习）过点的圆C与直线相切于点，则圆C的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求出直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为求出过点B的直径所在直线方程的斜率，求出此直线方程,根据直线方程设出圆心 C 坐标，根据，利用两点间的距离公式列出方程，求出方程的解确定出 C 坐标，进而确定出半径，写出圆的方程即可. 【详解】 解：直线的斜率为1， 过点B的圆的直径所在直线的斜率为. ， 此直线方程为，即. 设圆心C的坐标为， ， 即， 解得，圆心C坐标为，半径为. 圆C的方程为. 故选：D. 【点睛】 此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两点间的距离公式，两直线垂直时斜率满足的关系，求出圆心坐标与半径是解本题的关键. 例 2．（2021·全国高二课时练习）求下列各圆的方程： （1）圆心为且过点； （2）过，，三点； （3）圆心在直线上，且经过原点和点． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）求出半径，即可得出圆的方程； （2）设出圆的标准方程，将已知三点代入即可求解； （3）设出圆心，由圆心到原点的距离与到的距离相等可求出，进而求出半径，得出方程. 【详解】 （1）由题意，圆的半径， 又圆心为，则所求圆的方程为； （2）设圆的方程为， 因为圆过，，三点， ，解得， 则所求圆的方程为； （3）由圆心在直线上可设圆心为， 则圆心到原点的距离与到的距离相等， 则，解得，即圆心为， 则半径为， 故所求圆的方程为. 【变式训练2-1】．（2021·全国高二课时练习）分别根据下列条件，求圆的方程： （1）过点和原点； （2）与两坐标轴均相切，且圆心在直线上. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】 (1) 设圆的方程为，由和原点在圆上可得