1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册) 1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 【考点梳理】 考点一：空间向量中的距离问题 1.点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量 ＝a，则点P到直线l的距离为在直线l上的投影向量为 2.点P到平面α的距离 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为． 考点二：空间向量中的夹角问题 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 【题型归纳】 题型一：点到平面的距离的向量求法 1．如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E，使得点A1到平面AED的距离为 ？ 2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点． （1）求点M到直线AC1的距离； （2）求点N到平面MA1C1的距离． 题型二：平行平面的距离的向量求法 3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点， （1）证明：平面AMN∥平面EFBD； （2）求平面AMN与平面EFBD间的距离． 4．在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，求平面AB1O1与平面BC1O间的距离. 题型三：异面直线夹角的向量求法 5．如图，在直三棱柱 （侧棱垂直于底面的棱柱）中， ， ，棱 ， 为 的中点. （1）求 的长； （2）求 与 所成角的余弦值. 6．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝ CD. （1）求证：EF⊥B1C； （2）求EF与C1G所成角的余弦值. 题型四：线面角的向量求法 7．如图，在多面体 中， 平面 ，点 到平面 的距离为 ， 是正三角形， ， ． （1）证明： ． （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 8．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面四边形 为直角梯形， ， ， ， ， 为线段 的中点，过 的平面与线段 ， 分别交于点 ， . （1）求证： ； （2）若 为棱 上靠近 点的三等分点，求直线 与平面 所成角的正弦值. 题型五：面面角的向量 9．如图1，在平面四边形ABCD中，BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB= ，AB=4，点E为AB的中点，M为线段AC上的一点，且ME⊥AB.沿着AC将△ACD折起来，使得平面ACD⊥平面ABC，如图2. （1）求证∶BC⊥AD； （2）求二面角A-DM-E的余弦值. 10．如图，在四棱柱 中， 平面 ， ， ， ， ，若 与 交于点 ，点 在 上，且 ． （1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 所成角的余弦值． 【双基达标】 11．在正四棱柱 中，AB=2，过 、 、B三点的平面截去正四棱柱的一个角后，得到如图所示的几何体 ，且这个几何体的体积为 ，点P，Q分别是 和AC的中点. （1）求异面直线 与 所成角的大小； （2）求直线C1D与平面 所成角的大小.（用反三角函数表示） 12．如图，在矩形 中， ，E为边 上的点， ，以 为折痕把 折起，使点C到达点P的位置，且使二面角 为直二面角，三棱锥 的体积为 . （1）证明：平面 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 13．直角梯形 绕直角边 旋转一周的旋转的上底面面积为 ，下底面面积为 ，侧面积为 ，且二面角 为 ， ， 分别在线段 ， 上． （Ⅰ）若 ， 分别为 ， 中点，求 与 所成角的余弦值； （Ⅱ）若 为 上的动点、 为 的中点，求 与平面 所成最大角的正切值，并求此时二面角 的余弦值． 14．如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 是