专题19 数列求和、数列的综合应用-2022年高三毕业班数学常考点归纳与变式演练（文理通用）

专题19 数列求和、数列的综合应用 专题导航 目录 常考点01 数列求和 1 【典例1】 1 【考点总结与提高】 2 【变式演练1】 3 常考点02 数列中的不等关系 4 【典例2】 4 【考点总结与提高】 6 【变式演练2】 6 常考点03 数列中的探索性问题 7 【典例3】 7 【考点总结与提高】 9 【变式演练3】 9 【冲关突破训练】 11 常考点归纳 常考点01 数列求和 【典例1】 1．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． (1)求的公比； (2)若，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）设的公比为，为的等差中项， ， ； （2）设前项和为，， ，① ，② ①②得， ， ． 2．为数列的前项和．已知 (Ⅰ)求的通项公式： (Ⅱ)设,求数列的前项和 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）当时，，因为，所以=3， 当时，==，即，因为，所以=2， 所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列， 所以=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，=， 所以数列{}前n项和为= =． 【考点总结与提高】 求数列的前n项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法： （1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解； （2）倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和. （3）裂项相消法，即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点. 常见的裂项方法有： （4）错位相减法，若数列是等差数列，是等比数列，且公比为，求的前项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：列出和式，两边同乘以公比，两式相减并求和. 在写出与的表达式时，要将两式“错项对齐”，便于准确写出的表达式. 在运用错位相减法求和时需注意： ①合理选取乘数（或乘式）； ②对公比的讨论； ③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律； ④相消项中构成数列的项数. （5）分组求和法，如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. 【变式演练1】 1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设数列{an}满足a1=3，． (1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； (2)求数列{2nan}的前n项和Sn． 【答案】（1），，，证明见解析；（2）． 【解析】（1）由题意可得，， 由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即， 证明如下： 当时，成立； 假设时，成立． 那么时，也成立． 则对任意的，都有成立； （2）由（1）可知， ，① ，② 由①②得： ， 即． 2．等差数列的前项和为，，，则____________． 【答案】 【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有 ，解得 ， 数列的前n项和， 裂项可得， 所以． 常考点02 数列中的不等关系 【典例2】 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【解析】因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以，所以. （2）证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. 2．已知数列满足=1，． (Ⅰ)证明是等比数列，并求的通项公式； (Ⅱ)证明： 【答案】略 【解析】（Ⅰ）由，得，且 所以是首相为，公比为的等比数列。 因此，所以的通项公式为． （Ⅱ）由（1）知 当时，，所以 于是 所以 【考点总结与提高】 1．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列． 解决数列与函数综合问题的注意点： （1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点． （2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题． （3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化． 2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种： （1）判断数列问题中的一些不等关系； （2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； （3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题． 在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式． 【变式演练2】 1．记为等差数列