专题18 等比数列-2022年高三毕业班数学常考点归纳与变式演练（文理通用）

专题18 等比数列及其前n项和 专题导航 目录 常考点01 等比数列中的基本运算 1 【典例1】 1 【考点总结与提高】 2 【变式演练1】 2 常考点02 等比数列基本性质的应用 3 【典例2】 3 【考点总结与提高】 3 【变式演练2】 4 常考点03 等比数列的通项公式及前n项和 4 【典例3】 4 【考点总结与提高】 5 【变式演练3】 5 常考点04 等差等比混合应用 6 【典例4】 6 【考点总结与提高】 7 【变式演练4】 7 【冲关突破训练】 8 常考点归纳 常考点01 等比数列中的基本运算 【典例1】 1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】1.A 2.C 【解析】1.∵为等比数列的前n项和， ∴，，成等比数列 ∴， ∴， ∴. 故选：A. 2.设正数的等比数列{an}的公比为，则， 解得，，故选C． 【考点总结与提高】 （1）等比数列的基本运算方法： ①等比数列由首项与公比确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕与进行． ②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出与，对于五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”． （2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法： ①方程思想．等比数列的通项公式和前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量和q，问题可迎刃而解． ②分类讨论思想．等比数列的前项和公式为，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分和进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视． ③整体思想．应用等比数列前n项和公式时，常把，当成整体求解. 【变式演练1】 1．已知等比数列满足,,则（ ） A． B． C． D． 2．已知等比数列满足，，则 A． B． C． D． 【答案】1.C 2.B 【解析】1.由题意可得,所以 ,故 ,选C. 2. ，选B. 常考点02 等比数列基本性质的应用 【典例2】 1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设是等比数列，且，，则（ ） A．12 B．24 C．30 D．32 2．已知为等比数列,,,则（ ） A． B． C． D． 【答案】1.D 2.D 【解析】1.设等比数列的公比为，则， ， 因此，. 故选：D. 2.或. 由等比数列性质可知或 故选D. 【考点总结与提高】 等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n项和公式的变形应用等. 注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用. 【变式演练2】 1．已知数列{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 2．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2 …an的最大值为___________． 【答案】1.A 2.64 【解析】1.数列{an}是等比数列，所以， 所以， 又因为，所以，所以，故选：A. 2.设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值. 常考点03 等比数列的通项公式及前n项和 【典例3】 1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ） A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为， 由可得：， 所以， 因此. 故选：B. 2．设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 Sn＝＝＝＝3－2an. 【考点总结与提高】 1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为： （1）通项法．设数列的通项公式来求解； （2）对称设元法：若所给等比数列的项数为且各项符号相同，则这个数列可设为，…，，，，…，； 若所给等比数列的项数为，则这个数列可设为，…，，…，. 2