专题17 等差数列-2022年高三毕业班数学常考点归纳与变式演练（文理通用）

专题17 等差数列及其前n项和 专题导航 目录 常考点01 等差数列中基本量的求解 1 【典例1】 1 【考点总结与提高】 2 【变式演练1】 2 常考点02 等差数列基本性质的应用 3 【典例2】 3 【考点总结与提高】 3 【变式演练2】 4 常考点03 求解等差数列的通项及前n项和 4 【典例3】 4 【考点总结与提高】 5 【变式演练3】 5 常考点04 等差数列中的最值问题 6 【典例4】 6 【考点总结与提高】 6 【变式演练4】 7 常考点05 等差数列解答题 7 【典例5】 8 【考点总结与提高】 10 【变式演练5】 10 【冲关突破训练】 11 常考点归纳 常考点01 等差数列中基本量的求解 【典例1】 1．（2019江苏8）已知数列是等差数列，是其前n项和．若，则的值是 ． 2．(2018北京)设是等差数列，且，，则的通项公式为___． 【答案】1.16 2.14 【解析】1.设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以． 2.解法一 设的公差为，首项为，则， 解得，所以． 解法二 ，所以．故，故． 【考点总结与提高】 1.定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示 2.等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． 3.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，d，n，，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想． 【变式演练1】 1．记为等差数列的前项和，,．则 (　　) A． B． C． D． 2．记为等差数列的前项和．若,,则的公差为 (　　) A． B． C． D． 【答案】1.B 2.C 【解析】1.∵为等差数列的前项和，，， ∴，把，代入得 ∴，故选B． 2.设公差为,,,联立解得,故选C． 秒杀解析:因为,即,则,即,解得,故选C． 常考点02 等差数列基本性质的应用 【典例2】 1．设是等差数列的前项和，若，则（ ） A． B． C． D． 2．（2020上海7）已知等差数列的首项，且满足，则 ． 【答案】1.A 2. 【解析】1.，．故选A． 2.由条件可知，． 故答案为： ． 【考点总结与提高】 由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质： （1）通项公式的推广：，． （2）若，则． 特别地，①若，则； ②若，则． ③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即 （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列． （4）数列是常数是公差为td的等差数列． （5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列． （6）若，则． 【变式演练2】 1．在等差数列中，已知，则该数列前11项和（ ） A．58 B．88 C．143 D．176 2.已知为等差数列，且前项和分别为，若，则_____ 【答案】1.B 2. 【解析】1.，而，故选B． 2.所求可发现分子分母的项序数相同，结合条件所给的是前项和的比值。考虑利用中间项与前项和的关系，有： ，将项的比值转化为数列和的比值，从而代入即可求值： 常考点03 求解等差数列的通项及前n项和 【典例3】 1．（2019•新课标Ⅰ，理9）记为等差数列的前项和．已知，，则　　 A． B． C． D． 2．设是数列的前项和，且，，则________． 【答案】1.A 2. 【解析】1.设等差数列的公差为，由，，得，， ，，故选． 2.由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以． 【考点总结与提高】 1．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解. 在利用定义法求等差数列通项公式时，常涉及设等差数列项的问题，等差数列中项的常见设法有：（1）通项法；（2）对称项设法.当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：；当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公差为向两边分别设项：. 2．等差数列前n项和公式的应用方法： 根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；若已知通项公式，则使用，同时注意与性质“”的结合使用. 3.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。 【变式演练3】 1．等差数列的前项和为，，，则 ． 【答案】 【解析】设等差数列的首