4.3等比数列（B 能力培优练）-2021-2022学年高二数学同步双培优检测（苏教版2019选择性必修第一册）

4.3等比数列 B 能力培优练 1．若，对任意的，都有，且.设表示整数的个位数，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由已知整理得，再由已知得 ，则数列的通项公式为 ，根据指数运算得出数列的项的个位数字从第二项起形成一个周期为4的循环，由此可得选项. 【详解】 因为，整理得，由已知得， 所以，则有，所以，所以数列的通项公式为，所以， 又，个位数字为2；，个位数字为4；，个位数字为8；，个位数字为6， 所以数列的项的个位数字从第二项起形成一个周期为4的循环，所以与的个位数字相同，所以. 故选：C. 【点睛】 关键点睛：本题考查根据数列的递推关系求数列的通项，以及数列的周期性，关键在于将已知的递推关系进行因式分解，得出数列的通项公式，再得出数列的个位数字的周期性得以解决. 2．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有个正三角形），其中最小的正三角形面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 记第个正三角形的边长为，第个正三角形的边长为，根据与的关系判断出为等比数列，由此求解出最小的正三角形的边长，从而面积可求. 【详解】 设第个正三角形的边长为，则个正三角形的边长为， 由条件可知：， 又由图形可知：，所以， 所以，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，所以， 所以最小的正三角形的面积为：， 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：解答本题的关键是将已知问题转化为等比数列问题，通过每一次的迭代分析正三角形的边长之间的关系，从而分析得到正三角形的边长成等比数列，据此可进行相关计算. 3．对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②；③．定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法错误的是（ ） A．若，则为“s数列” B．若，则为“t数列” C．若为“s数列”，则为“t数列” D．若等比数列为“t数列”则为“s数列” 【答案】C 【分析】 根据“s数列”和“t数列”的定义逐一对各选项分析判断即可. 【详解】对A：， ， 又， 数列为“s数列”，故选项A正确. 对B：，，又， ， ， 数列为“t数列”， 故选项B正确. 对C：若，， 又，所以数列为“s数列”，但，故选项C错误. 对D：若等比数列为“t数列”，则，即（公比为）. （1）若公比，因为，所以，所以，所以， 此时 因为，，，所以， 即，所以为“s数列”； （2）若公比， 由得，由性质③知 ，即， 所以，但此时与性质③不符，所以时不是“t数列”. 综上，若等比数列为“t数列”则为“s数列”，选项D正确. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住数列为“s数列”和数列为“t数列”所满足的性质对各选项逐一分析. 4．已知函数的定义域为，当时，；对任意的，成立.若数列满足，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由已知，令，即有，结合递推式有，即在上单调增，进而求且，利用构造法确定为等差数列并写出通项公式，即可求. 【详解】 当时，，在上任取两数，且，令，则． ，即在上是单调增函数． 令，则，解得．而数列满足， ， ，则， ∴数列是公比为，首项为的等比数列，得：， ∴，故. 故选：C． 【点睛】 关键点点睛：首先应用已知条件判断函数的单调性，求；再由，应用构造法求数列通项，进而求项. 5．是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：①数列中任意一项均不为0；②数列中必有一项为；③数列中或者任意一项不为；或者无穷多项为；④数列中一定不可能出现；⑤数列中一定不可能出现；其中正确的命题是（ ） A．①③ B．②④ C．③⑤ D．②⑤ 【答案】C 【分析】 对于①举反例即可．对于②举反例即可．对于③是正确的命题，时可证恒成立，时有有无穷多项为0；对于④利用③的结论即可反证；对于⑤利用反证即可. 【详解】 是由实数构成的无穷等比数列， 对于①，令，则时，故结论是不正确的 对于②令，则恒成立，故结论不正确 对于③，当时，恒成立， 当且时，恒成立 当时，时，，时，恒成立． 综上可得结论是正确的． 对于④，由①可知结论是不正确的． 对于⑤，若，则，，， 可知结论是正确的． 故选：C. 【点睛】 关键点睛：解决本题的关键是要善于举反例，同时也要灵活运用反证法来推敲、判断. 6．已知数列满足，，其前项和为，则下列