3.2双曲线（B 能力培优练）-2021-2022学年高二数学同步双培优检测（苏教版2019选择性必修第一册）

3.2双曲线 B 能力培优练 1．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据条件求得，∴，在中，由勾股定理可得关于的等式，进而可求得离心率. 【详解】 由双曲线定义知， 则，，所以， ∴的周长为， ∴，， 由， 所以，故，∴， ∴，，∴， 在中，，故. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是：由得到. 2．已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是双曲线渐近线上一点，且(其中为坐标原点)，交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据双曲线的定义和余弦定理建立关于的方程，从而可得双曲线的离心率． 【详解】 根据双曲线的对称性，不妨设点在第二象限，设，因为，点到直线的距离， 所以，因为，所以，因为，所以， 由双曲线的定义可知，在中，由余弦定理可得，整理得， 所以，即离心率. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． （2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量． 3．已知椭圆：()的短轴长为4，上顶点为，为坐标原点，点为的中点，双曲线：(，)的左､右焦点分别与椭圆的左､右顶点，重合，点是双曲线与椭圆在第一象限的交点，且，，三点共线，直线的斜率，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由椭圆的短轴长为4得的坐标，的坐标 设的中点为连接得，， 直线的方程得的坐标，的坐标，求出双曲线的实轴长， 解得双曲线的离心率. 【详解】 因为椭圆：()的短轴长为4，所以，. 设的中点为，连接，则，而，， 所以，得，所以直线的方程为， 与直线的方程联立，得解得 所以的坐标为，的坐标为， 又双曲线：的左､右焦点分别为，， 所以根据双曲线的定义， 得双曲线的实轴长， 所以双曲线的离心率， 故选：D 【点睛】 充分利用椭圆和双曲线的几何特征，特别是双曲线的左右焦点与椭圆的左右顶点重合. 结论拓展已知直线：与椭圆相交于，两点，为的中点，为坐标原点，则. 4．已知是双曲线的右焦点，直线经过点且与双曲线相交于两点，记该双曲线的离心率为，直线的斜率为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设直线的方程为，联立方程组求得，根据，得到，代入上式，可得，求得，即可求解. 【详解】 由题意，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 因为，即，可得， 代入上式，可得， 可得， 整理得，即， 又由，可得，即， 所以，可得，即. 故选：C. 【点睛】 设出直线的方程为，与椭圆的方程联立方程组，利用根与系数的关系，求得，结合，转化为，列出关于的方程是解答的关键. 5．已知点P是双曲线的右支上一点，为双曲线E的左､右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（ ） ①点P的横坐标为 ②的周长为 ③的内切圆半径为1 ④的内切圆圆心横坐标为4 A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【答案】B 【分析】 设的内心为I，连接IP，，，求得双曲线的a，b，c，不妨设，，，运用三角形的面积公式求得P的坐标判断①，由两点的距离公式，可得的周长判断②，设的内切圆半径为r，运用三角形的等面积法，可计算r判断③，设的内切圆圆心横坐标为x，利用正切的二倍角公式可判断④. 【详解】 设的内心为I，连接IP，，， 双曲线E：中的，，， 对于①，不妨设，，，由的面积为20，可得，即，由，可得，故①正确； 对于②，由，且，，得，则的周长为，故②正确； 对于③，设内切圆半径为r，由三角形等面积法得，即，解得，故③错误； 对于④，设的内切圆圆心横坐标为x，则，又， 解得：（舍去）或，故，求得，故④正确； 故选：B 【点睛】 （1）坐标法是解析几何的基本方法； （2）灵活运用定义在解析几何中是常见的思路； （3）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算． 6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于，两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，圆的面积为，圆的面积为，则（ ） A．的取值范围是 B．直线与轴垂直 C．若，则 D．的取值范围是 【答案】BCD 【分析】 根据双曲线渐近线倾斜角判断A；利用双曲线定义及切线长性质判断B；根据平面几何知识确定后，根据直角三角形相似，求出判断C；求出的关系，及的范围，利用对勾函数判断出D. 【详解】 设与圆的切点分别为,如图，