1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册) 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 【考点梳理】 考点一　空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 考点二　空间一点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使，且点A的位置由向量 考点三　空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 考点四　空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 考点五　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝；＝ cos〈a，b〉＝.＝ 知识点三　空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则P1P2＝|.|＝ 【题型归纳】 题型一：空间直接坐标对称问题 1．点 关于 平面的对称点为（ ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点 关于平面 的对称点为 ，关于 轴的对称点为 ，则 、 间的距离为（ ） A． B．6 C．4 D． 3．在空间直角坐标系中，已知点 ，那么下列说法正确的是（ ） ①点 关于 轴对称的点的坐标是 ；②点 关于 平面对称的点的坐标是 ；③点 关于 平面对称点的坐标是 ；④点 关于原点对称点的坐标是 . A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 题型二：空间图像上的点坐标 4．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置 中放一个单位正方体礼盒 ，现以点D为坐标原点， 、 、 分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系 ，则正确的是（ ） A． 的坐标为 B． 的坐标为 C． 的长为 D． 的长为 5．在空间直角坐标系 中，记点 在 平面内的正投影为点B，则 （ ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系 中,已知 EMBED Equation.DSMT4 .若 分别是三棱锥 在 坐标平面上的正投影图形的面积，则 A． B． C． D． 题型三：空间中点坐标公式的应用 7．如图所示的空间直角坐标系中，正方体的棱长为 ， ，则点 的空间直角坐标为（ ） A． B． C． D． 8．已知△ABC的三个顶点A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为 A．2 B．3 C． D． 9．在空间直角坐标系 中，给出以下结论：①点 关于 轴的对称点的坐标为 ；②点 关于 平面对称的点的坐标是 ；③已知点 与点 ，则 的中点坐标是 ；④两点 间的距离为 .其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 题型四：空间两点间的距离公式应用 10．在空间直角坐标系中，点 关于平面 的对称点为 ，则 、 两点间的距离为（ ） A． B．2 C．4 D． 11．正方体 的棱长为 ，且 ， ， ， ，则 的最小值为（