1.2 空间向量基本定理-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册) 1.2　空间向量基本定理 【考点梳理】 考点一　空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 考点二　空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 考点三　证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 考点三　求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 知识点三　求距离(长度)问题 )．＝( ＝ 【题型归纳】 题型一：空间向量基底概念与判断 1．下列能使向量 ， ， 成为空间的一个基底的关系式是（ ） A． B． C． D． 2．空间四个点O，A，B，C， 为空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 3．若 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ） A． B． C． D． 题型二：空间向量基本定理的应用 4．空间四边形 中， .点 在 上，且 ， 为 的中点，则 等于（ ） A． - B．- C． - D． - 5．设 是正三棱锥， 是 的重心， 是 上的一点，且 ，若 ，则 （ ）． A． B． C． D． 6．如图，在四面体 中，点 是棱 上的点，且 ，点 是棱 的中点.若 ，其中 为实数，则 的值是（ ） A． B． C． D． 【双基达标】 一、单选题 7．已知 是空间的一个基底，若 ，则（ ） A． 是空间的一组基底 B． 是空间的一组基底 C． 是空间的一组基底 D． 与 中的任何一个都不能构成空间的一组基底 8．点 是矩形 所在平面外一点，且 平面 ， ， 分别是 ， 上的点，且 ， 则满足 的实数 的值分别为（ ） A． B． C． D． 9．在下列两个命题中，真命题是（ ） ①若三个非零向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，则 ， ， 共面； ②若 ， 是两个不共线向量，而 ＝λ ＋μ (λ，μ 且λμ≠0)，则{ ， ， }构成空间的一个基底． A．仅① B．仅② C．①② D．都不是 10．如图，在长方体 中，P是线段 上一点，且 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D．1 11．如图，在三棱锥 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 为线段 上一点，且 ，若记 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 12．下列结论错误的是（ ）. A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C．若 ､ 是两个不共线的向量，且 ( 且 )，则 构成空间的一个基底 D．若 ､ ､ 不能构成空间的一个基底，则 ､ ､ ､ 四点共面 13．如图，已知空间四边形 ，其对角线为 分别是 的中点，点 在线段 上，且使 ，用向量 表示向量 为（ ） A． B． C． D． 14．设 ： ， ， 是三个非零向量； ： 为空间的一个基底，则 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 15．已知空间向量 ， 满足| |=| |=1，且 ， 的夹角为 ，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足 =2 + ， =3 - ，则△OAB的面积为（ ） A． B． C． D． 16．已知在四棱柱 中，四边形 为平行四边形，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【高分突破】 一：单选题 17．在空间四边形 中， ， ， ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 18．在三棱锥 中， ，N为 中点，则 （ ） A． B． C． D． 19．在平行六面体 中， 与 的交点为 ，设 ， ， ，则下列向量