1.1.2 空间向量的数量积运算-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册) 1.1.2空间向量的数量积运算 【考点梳理】 考点一　空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．＝a， 2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 考点二　空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 考点三　 向量a的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，，向量 【题型归纳】 题型一：空间向量的数量积的运算 1．已知空间中非零向量 ， ，且 ， ， ，则 的值为（ ）． A． B．97 C． D．61 2．平行六面体（底面是平行四边形的棱柱） 中， ， ， ，则 （ ） A．1 B． C．2 D．4 3．在底面是正方形的四棱柱 中， ， ， ，则 （ ） A． B． C． D．2 题型二：空间向量的数量积的应用（夹角和模） 4．如图所示，空间四边形 中， ， ，则 ， 的值是（ ） A．0 B． C． D． 5．已知 ，空间向量 为单位向量， ，则空间向量 在向量 方向上的投影的数量为（ ） A．2 B． C． D． 6．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，且 ， ， ， ， 分别为 ， 上的点，且 ， ， （ ） A．1 B． C．2 D． 【双基达标】 一、单选题 7．已知非零向量 不平行，并且其模相等，则 与 之间的关系是（ ） A．垂直 B．共线 C．不垂直 D．以上都可以 8．已知 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么 （ ） A． B． C． D．4 9．如图，在平行六面体 中， ， ，则 （ ） A．1 B． C．9 D．3 10．已知空间向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 11．已知四面体 中， 、 、 两两互相垂直，则下列结论中不成立的是（ ）． A． B． C． D． 12．空间四边形 各边及对角线长均为 ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，则 （ ） A． B． C． D． 13．已知 是夹角为60°的两个单位向量，则 = + 与b= -2 的夹角是（ ） A．60° B．120° C．30° D．90° 14．已知四棱柱 的底面 是矩形， ，则 （ ） A． B． C． D． 15．已知平行六面体 中， ， ， ， ， ．则 的长为（ ） A． B． C． D． 16．如图在长方体 中，设 ， ，则 等于（ ） A．1 B．2 C．3 D． 【高分突破】 一：单选题 17．已知空间向量 ，0， ， ，2， ，则向量 在向量 上的投影向量是（ ） A． ，2， B． ，2， C． ，0， D． ，0， 18．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱） 所有棱长都为1，且 则 （ ） A． B． C． D． 19．如图，空间四边形 的每条边和对角线长都等于1，点 ， 分别是 ， 的中点，则 （ ） A． B． C． D． 20．设 、 为空间中的任意两个非零向量，有下列各式： ① ；② ；③ ；④ . 其中正确的个数为（ ） A． B． C． D． 21．已知在平行六面体 中， ， ， ， ， ， ，则 的长为（ ）． A． B． C． D． 22．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形，侧棱 的长为2，且 与 ， 的夹角都等于 ．若 是 的中点，则 （ ） A． B． C． D． 23．如图在平行六面体 中，底面 是边长为1的正方形，侧棱 且 ，则 （ ） A． B． C． D． 24．在棱长为2的正