1.1.1 空间向量及其线性运算-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册) 1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其线性运算 【考点梳理】 考点一　空间向量的概念 1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作|.，其模记为|a|或| 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 考点二　空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ ＝＋ 减法 a－b＝＝－ 数乘 当λ>0时，λa＝λ； ＝ 当λ<0时，λa＝λ； ＝ 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 考点三　共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 考点四　共面向量 1．共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 【题型归纳】 题型一：空间向量的有关概念 1．给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体 中，必有 ； ③ 是向量 的必要不充分条件； ④若空间向量 满足 ，则 ． 其中正确的命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．0 2．给出下列命题 ①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量； ③若 满足 ，且 同向，则 ； ④零向量没有方向；⑤对于任意向量 ，必有 ． 其中正确命题的序号为（ ） A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤ 3．下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A．若向量 ， 平行，则 ， 所在直线平行 B．若 ，则 ， 的长度相等而方向相同或相反 C．若向量 ， 满足 ，则 D．相等向量其方向必相同 题型二：空间向量的线性运算（加减法） 4．如图，在正方体 中，点 ， 分别是面对角线 与 的中点，若 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 5．空间四边形 各边及对角线长均为 ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，则 （ ） A． B． C． D． 6．空间四边形 中， .点 在 上，且 ， 为 的中点，则 等于（ ） A． - B．- C． - D． - 题型三：空间两个向量共线的有关问题 7．已知空间向量 ， ，且 ， ， ，则一定共线的三点是（ ）. A．A､B､D B．A､B､C C．B､C､D D．A､C､D 8．已知空间中两条不同的直线 ，其方向向量分别为 ，则“ ”是“直线 相交”的（ ） A．.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．下列命题中正确的是（ ）. A．若 与 共线， 与 共线，则 与 共线. B．向量 ， ， 共面，即它们所在的直线共面 C．若两个非零空间向量 与 满足 ，则 D．若 ，则存在唯一的实数 ，使 题型四：空间共面向量定理 10．已知 、 、 三点不共线，点 是平面 外一点，则在下列各条件中，能得到点 与 、 、 一定共面的是（ ） A． B． C． D． 11．下列结论错误的是（ ）. A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C．若 ､ 是两个不共线的向量，且 ( 且 )，则 构成空间的一个基底 D．若 ､ ､ 不能构成空