专题02 二次函数与反比例函数（函数与方程不等式以及应用）-2021-2022学年九年级数学上册同步辅导《考点•题型 •技巧》讲练突破（沪科版）

专题02 二次函数与反比例函数（函数与方程不等式以及应用） 考点1 函数与方程、考点2 函数与不等式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac＞0。 (2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点(，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根， (3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac＜0. 方法技巧： 二次函数与x轴、y轴的交点的求法： 分别令y=0,x=0；二次函数与一次及反比例函数等的相交：联立两个函数表达式，解方程. 【方法点拨】二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 1．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=－1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线（ ） A．x=－1 B．x=2 C． D． 【答案】C 【分析】 根据方程的两根即可得出抛物线与x轴的两个交点坐标，再利用抛物线的对称性即可得出抛物线的对称轴． 【详解】 解：方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=－1，x2=2， ∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为(-1，0)、(2，0)， ∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线， 故选：C 【点睛】 本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线与x轴的交点横坐标找出拋物线的对称轴是解题的关键． 2．如图，抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 已知抛物线的对称轴，可求出m=4，进而求出抛物线的解析式；把关于x的一元二次方程有解的问题，转化为抛物线与直线y=t的交点问题，可求出t的取值范围；最后将所给的四个选项逐一与t的范围加以对照，即可得出正确答案． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线x=2, ∴ 解得，m=4． ∴抛物线的解析式为 当x=2时， ∴抛物线的顶点坐标为（2，4）． 当x=1时， 当x=3时， ∵关于x的一元二次方程是， ∴． ∵方程在的范围内有解， ∴抛物线与直线y=t在范围内有公共点，如图所示． 故选：A 【点睛】 本题考查了二次函数的对称轴、顶点坐标、与一元二次方程的关系等知识点，熟知二次函数的对称轴、顶点坐标的计算方法是解题的基础，而熟知二次函数与一元二次方程的互相转化是解题的关键． 3．若抛物线与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，根据“两个交点间的距离为4，对称轴为”建立方程可求出的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，然后根据关于轴的对称点的坐标变换规律即可得． 【详解】 解：设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且， 由题意得：，解得， 则抛物线与轴的两个交点坐标分别为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为， 顶点的坐标为， 则点关于轴的对称点的坐标是， 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质、关于轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 4．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴没有交点，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】 根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则，解得，再把代入中求出的值；利用二次函数图象平移的规律得到抛物线向上平移个单位后的解析式为，根据判别式的意义得到，然后解不等式后可确定的最小值． 【详解】 解：∵点和是抛物线上的两点， ∴点A和点B为抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 解得，， ∴抛物线解析式为， 把代入得； 抛物线向上平移（是正整数）个单位后的解析式为， ∵抛物线与轴没有交点， ∴， 解得， ∵是正整数， ∴的最小值是4． 故选：C． 【点睛】 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于