专题14 导数中的恒成立与存在性问题-备战2022年高考数学核心考点专题训练

备战2022年高考数学核心考点专题训练 专题14 导数中的恒成立与存在性问题 一、单选题 1. 已知函数，若在时总成立，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：当时，显然恒成立； 当时，即为，设， 则，令， ， 函数在上为增函数， 当时，，故函数在上为增函数， ，即成立； 当时，，，故存在，使得， 当时，，单调递减，则，即，不符题意； 综上所述，实数k的取值范围为． 故选：A．   2. 已知在区间上单调递增，则实数a的取值范围是    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由得， 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为时，，当且仅当时等号成立， 所以． 故选B． 3. 已知函数若恒成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：因为 由恒成立， 得到， 分别作出及的图象， 由图知，当时，不符合题意， 只需考虑的情形， 当与图象相切于时， 由导数几何意义， 此时， 数形结合可知； 故选C．    4. 已知不等式，且对任意实数成立，则的最大值为      A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由题意得成立，令，则， 若，，单调递增，当时，不合题意 若，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以最小值为所以， 所以令， 则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以 ， 即的最大值为 故选B．   5. 若存在正实数x，y使得不等式成立，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设，， 由题意可知，， ，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取得极大值，也是最大值，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在取得极小值，也是最小值，， 由于即， 所以只能，，此时． 故选D．   6. 已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数k的最大值是  A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】解：，，所以， 可化为， 令，得恒成立， 令，，当时，，递减， 当时，，递增， 而，所以时，，所以，即实数k的最大值是0， 故选B．   7. 当时，不等式R，恒成立，则的最大值为        A. B. 2 C. D. 2e 【答案】C 【解析】解：记则 ，当时，因为所以， 所以在区间上单调递增，时， ，所以不符合题意：当时，令 ，当时， 单调递增当时，． 单调递减，所以 ，所以依题有， 即，因为，所以， 记所以 当时，当，所以， 所以 故选C．   8. 设函数的导函数为，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：函数， 则， 不等式可化为， 设， 则， 所以在上恒成立， 故在上单调递减， 故， 故， 故选C．   9. 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”已知在上为“凹函数”，则实数t的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：因为， 所以． 因为在上为“凹函数”， 所以在上恒成立， 即． 令，， 则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故． 故选C．   10. 已知函数，若存在实数x使不等式成立，则实数的取值范围为      A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：函数，存在实数x使不等式成立， 即存在实数x使成立， 故存在实数x使则成立， 令，则， 当时，，则， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为， 当时，，则， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为， 因为，故， ，即． 故选：C． 二、单空题 11. 若存在，满足，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】解：令，， 则曲线过点，直线也恒过点， 由图象可知时，不满足条件． 当时，若满足条件，只需曲线在处的切线斜率小于a即可， 也就是，所以a的取值范围为   12. 已知定义在R上的函数fx的导函数为fx，满足fxfx，若axfx恒成立，则实数a的取值范围为__________________． 【答案】 【解析】解：根据题意设，因为 所以，所以为单调递增函数， 则变形为， 则不等式转化为， 即恒成立， 即恒成立， 则，解得．  故答案为．   13. 已知，若对于任意的，不等式恒成立，则a的最小值为_____． 【答案】 【解析】解： ． 令，， 在上单调递增， ， ， 又， 对于任意的恒成立， 令， ， 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取最大值为， ， 的最