专题07 与圆有关的轨迹问题与最值问题-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题07 与圆有关的轨迹问题与最值问题 题型一 轨迹问题 1．动圆的圆心的轨迹方程是　　． 2．一动点到两定点距离的比值为非零常数，当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点、的坐标分别为：、，动点满足． （1）求动点的阿波罗尼斯圆的方程； （2）过作该圆的切线，求的方程． 3．已知在平面直角坐标系中，点到两个定点，的距离之比等于． （1）求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； （2）已知点为所求轨迹上任意一点，求的最大值． 4．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）若，点是圆上的动点，求线段中点的轨迹方程，并说明表示什么曲线． 5．已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，则和的交点的轨迹方程为　　（化为标准形式） 6．已知方程表示一个圆． （1）求实数的取值范围； （2）求该圆半径的取值范围； （3）求圆心的轨迹方程． 7．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为　 　． 8．如图，已知矩形四点坐标为，，，． （1）求对角线所在直线的方程； （2）求矩形外接圆的方程； （3）若动点为外接圆上一点，点为定点，问线段中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程． 9．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：和点，点，为圆上动点，则的最小值为　　． 10．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 题型二 最值问题 11．已知实数，满足方程． （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值； （3）求的最大值和最小值． 12．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 13．圆为过点，的圆中最小的圆，则圆上的任意一点到原点距离的取值范围为　　 A．， B．， C． D． 14．已知实数，满足，则的最大值是　　 A．3 B．2 C． D． 15．设圆与圆，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 16．已知实数，满足，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 17．设是圆上任意一点，则的最大值为　　 A．6 B．25 C．26 D．36 18．设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为　　 A．6 B．4 C．3 D．2 19．已知实数，满足方程，则的最大值为 　　． 20．已知圆，则的最大值与最小值的和为　　 A．5 B．10 C．25 D．100 21．已知的顶点坐标为，，． （1）求边的中垂线所在直线的方程； （2）试求半径最小的的外接圆的标准方程． 22．已知圆，圆，动点在轴上，动点，分别在圆和圆上，则的最小值是　　． 23．已知以点为圆心的圆经过点和，且圆心在直线上． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）设点在圆上，求的面积的最大值． 24．如果圆的方程为，则当圆面积最大时，圆心为　 　． 25．已知，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．设的外接圆为． （1）若，求的标准方程； （2）求面积最小时的值． 26．已知圆经过点，，． （1）求圆的方程； （2）若为圆上的一动点，求面积的最大值． 27．已知圆，点与，为圆上动点，当取最大值时点坐标是　 　． 1 / 3 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $专题07 与圆有关的轨迹问题与最值问题 题型一 轨迹问题 1．动圆的圆心的轨迹方程是　　． 【解答】解：把圆的方程化为标准方程得 则圆心坐标为，因为，得到，所以消去可得即 故答案为： 2．一动点到两定点距离的比值为非零常数，当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点、的坐标分别为：、，动点满足． （1）求动点的阿波罗尼斯圆的方程； （2）过作该圆的切线，求的方程． 【解答】解：（1）设动点坐标为，则，， 又知，则，得． （2）当直线的斜率存在为时，则直线的方程为，与圆相切， 则，得，此时的方程为； 当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为， 综上：直线的方程为与． 3．已知在平面直角坐标系中，点到两个定点，的距离之比等于． （1）求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； （2）已知点为所求轨迹上任意一点，求的最大值． 【解答】解：（1）由题意可知：，由点到直线的距离公式，可得：， 化简整理得：，即，