安徽省六安市舒城中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题

舒城中学2021-2022学年度第一学期第一次统考 高二数学 满分150分 时间120分钟 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 若虚数z满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 2. 如图1、图2分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图．根据统计图，下列对两户居民旅游支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是（ ）． A. 甲户比乙户大 B. 乙户比甲户大 C. 甲、乙两户一般大 D. 无法确定哪一户大 【答案】A 3. 已知 ， 是两条直线， ， 是两个平面，下列说法正确的是（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 【答案】D 4. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 5. 如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 6. 四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）． A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为2，方差为2.4 D. 中位数为3，方差为2.8 【答案】C 7. 已知向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为 ，向量 是与 同向的单位向量，则向量 在向量 上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 8. 如图,无人机在离地面高 的 处,观测到山顶 处的仰角为 、山脚 处的俯角为 ,已知 ，则山的高度 为 A. m B. C. D. 【答案】A 9. 将函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象.若 为奇函数，则 的最小值为（ ） A B. C. D. 【答案】D 10. 在 中，下列说法错误的是（ ）． A. 若 ，则 B. 存 满足 C. 若 ，则 为钝角三角形 D. 若 ，则 【答案】B 11. 在棱长为2的正方体 中，平面 ，则以平面 截正方体所得的截面面积最大时的截面为底面，以 为顶点的锥体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 12. 已知函数 ，若存在三个实数 ，使得 成立，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知命题 ， .若 为假命题，则 的取值范围为___________ 【答案】 14. 对于函数 ,其中 ,若 的定义域与值域相同,则非零实数a的值为______________. 【答案】-4 15. 已知向量 与 的夹角为 ，且 ，若 ，且 ，则实数 的值是__________． 【答案】-1 16. 在平行四边形ABCD中， ， ，将此平行四边形沿对角线BD折叠，使平面 平面CBD，则三棱锥A-BCD外接球的体积是________. 【答案】 三、解答题（共6小题，共70分） 17. 已知对于正数 、 ，存在一些特殊的形式，如： 、 、 等. （1）判断上述三者的大小关系，并证明； （2）定义：间距 ，间距 ，判断两者的大小关系，并证明. 【答案】（1） ；证明见解析；（2） ，证明见解析. 18. 甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为 ，乙丙每人面试合格的概率都是 ，且三人面试是否合格互不影响． 求：（1）恰有一人面试合格的概率； （2）至多一人签约的概率． 【答案】（1） ；（2） . 19. 已知向量 ，若函数 的最小正周期为 . （1）求 的解析式； （2）若关于 的方程 在 有实数解，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 或 . 20. 如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ， 分别是 的中点. （1）证明： ； （2）求直线 与平面 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 21. 已知 中，过重心G的直线交边 于P，交边 于Q，设 的面积为 ， 的面积为 ， ， . （1）求证： . （2）求 取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2） 22. 随机抽取100名学生，测得他们的身高