1.2常用逻辑用语 1.2.3充分条件、必要条件（知识梳理+题型归纳） -2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 常用逻辑用语 1.2.3 充分条件、必要条件 知识梳理.充分条件、必要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “如果p，那么q” 是真命题 “如果p，那么q” 是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2．充要条件 如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 3．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件． (2)若B⊆A，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若A⊆B且B⊈A，即AB，则p是q的充分不必要条件． (5)若B⊆A且A⊈B，即BA，则p是q的必要不充分条件． (6)若A⊈B且B⊈A，则p是q的既不充分也不必要条件． 4．“⇔”的传递性：若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 【例】下列各命题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件) (1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝； (2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分； (3)p：xy>0，q：x>0，y>0. (4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． 【答案】 见解析 【解析】　(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝，x－1＝⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件． (2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分，即p⇒q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即qp. 所以p是q的充分不必要条件． (3)因为xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0. 故pq，但q⇒p. 所以p是q的必要不充分条件． (4)因为 所以p是q的既不充分也不必要条件． 题型一.充分、必要条件的判断 考点1.集合法 1．设集合A＝{x|0≤x＜3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的（　　） A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D． 【解析】解：因为集合A＝{x|0≤x＜3}，集合B＝{x|1≤x≤3}， 则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”也得不到“m∈A”． 故选：D． 2．已知a∈R，则“1”是“a＞1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B． 【解析】解：由1得a＜0或a≥1， 则“1”是“a＞1”的必要不充分条件， 故选：B． 考点2.等价转换法 3．“a（a﹣1）≤0”是“方程x2+x﹣a＝0有实数根”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A． 【解析】解：方程x2+x﹣a＝0有实数根⇔△＝1+4a≥0，解得a． a（a﹣1）≤0解得：0≤a≤1． ∴“a（a﹣1）≤0”是“方程x2+x﹣a＝0有实数根”的充分不必要条件． 故选：A． 4．直线l：yx的图象同时经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件是（　　） A．m＞1 且n＜1 B．mn＜0 C．m＞0，且n＜0 D．m＜0 且n＜0 【答案】B． 【解析】解：条件yx的图象同时经过第一、二、四象限等价于， ⇔⇒mn＜0， ∴mn＜0是yx的图象同时经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件． 故选：B． 考点3.特殊值法 5．设a，b是实数，则“a2+b2≤1”是“|a|+|b|≤1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B． 【解析】解：设a，b是实数，则“a2+b2≤1”推不出“|a|+|b|≤1”， 例如0.72+0.62＝0.85＜1，但0.7+0.6＝1.3＞1， “|a|+|b|≤1”⇒“a2+b2≤1”， ∴“a2+b2≤1”是“|a|+|b|≤1”的必要不充分条件． 故选：B． 6．如果对于任意实数x，＜x＞表示不小于x的最小整数，例如＜1.1＞＝2，＜﹣1.1＞＝﹣1，那么“|x﹣y|＜1”是“＜x＞＝＜y＞”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B． 【解析】解：若|x﹣y|＜1．取x＝3.6，y＝4.1，则＜x＞＝4，＜y＞＝5，＜x＞≠＜y＞， 所以“|x﹣y|＜1”成立推不出“＜x＞＝＜y＞”成立 若＜x＞＝＜y＞