突破2.2基本不等式（重难点突破）-【新教材优创】突破满分数学之2021-2022学年高一数学重难点突破+课时训练 （人教A版2019必修第一册）

突破2.2 基本不等式 1、 考情分析 2、 经验分享 【基本不等式(或)均值不等式】 【基本不等式的变形与拓展】 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”； (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 三、题型分析 (一) 利用基本不等式求最值 例1.（1）（2020·贵州省高二学业考试）已知，若，则的最小值为（ ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】由于，，所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为.故选：C （2）函数的最大值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】（当且仅，即时取等号）。故选B。 （3）．（2021·江苏高一专题练习）已知，，若，则的最小值为（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】 利用基本不等式即可求解. 【详解】 因为，，， 所以，当且仅当时取等号， 则，即最小值为4. 故选：A. 【变式训练1-1】．（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知，函数的最小值是（ ） A．4 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【解析】由题意可得，满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以，故选A 【变式训练1-2】．（2020·辽宁省实验中学分校高一期中）已知，都为正实数，，则的最大值是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果. 【详解】 因为，都为正实数，， 所以， 当且仅当，即时，取最大值. 故选B 【点睛】 本题主要考查由基本不等式求最值的问题，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 【变式训练1-3】．（2021·河北安平中学高二月考）（多选题）已知，，且，则可能取的值有（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】BCD 【分析】 由题意可知，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从而可得答案 【详解】 解：因为，，且， 所以 ，当且仅当，即取等号， 故选：BCD (二) 不等式变形技巧：“1”的代换 例2.（1）（2021·全国高一单元测试）正实数 满足：，则的最小值为_____. 【答案】9 【分析】 根据题意，可得，然后再利用基本不等式，即可求解. 【详解】 ，当且仅当 时取等号． 故答案为：9． 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题． (2)．（2021·全国）若正实数满足，则 A．有最大值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】C 【详解】 试题分析：因为正实数，满足，所以，故有最小值4，故A不正确；由基本不等式可得，故有最大值，故B不正确；由于，故由最大值为，故C正确；，故由最小值，故D不正确． 考点：基本不等式 【变式训练2-1】.（2020·浙江省高一期中）已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________ ，此时a=____________. 【答案】3 【解析】根据题意，正数a、b满足，则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为3，此时. 故答案为：3；. 【变式训练2-2】.（2020·石家庄市第十七中学高一月考）设，，若，则的最小值为__________． 【答案】16 【分析】 把乘以得到，后用均值定理 【详解】 解：，且且 ∴ 当且仅当取等号， 又，即，时取等号，故所求最小值为16． 故答案为：16 【点睛】 考查均值定理的应用，基础题 (三) 不等式的证明技巧与综合处理技巧 例3．（2020·全国高一课时练习）已知a，b都是正数，求证：． 【答案】见解析 【解析】∵，∵由均值不等式得，． 由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立． 【变式训练3-1】（2020·黑龙江省哈尔滨三中高一期末）已知，. （1）求证：； （2）若，求ab的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1. 【解析】证明：（1）∵， ∴. （2）∵，，∴，即， ∴，∴. 当且仅当时取等号，此时ab取最小值1. (四) 均值不等式在实际问题中的应用 例4.（