突破2.2基本不等式（课时训练）-【新教材优创】突破满分数学之2021-2022学年高一数学重难点突破+课时训练 （人教A版2019必修第一册）

突破2.2 基本不等式 A组 基础巩固 1．（2021·江苏高一专题练习）若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用基本不等式即可求解. 【详解】 因为，则， 则， 当且仅当，即时取等号，此时取得最大值. 故选：C. 2．（2020·江苏高一月考）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A． B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】 由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C． 3．（2021·阜阳市耀云中学高二期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确． 考点：不等式的性质 4．（2020·江苏省涟水中学高二月考）若函数在处取最小值，则等于（ ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【分析】 将函数的解析式配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值. 【详解】 当时，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选A. 【点睛】 本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题. 5．（2020·黑龙江牡丹江一中高一期末）已知，则的最小值为（ ）. A．9 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】 首先将所给的不等式进行恒等变形，然后结合均值不等式即可求得其最小值，注意等号成立的条件. 【详解】 . ，且， ， 当且仅当，即时，取得最小值2. 的最小值为. 故选B. 【点睛】 本题主要考查基本不等式求最值的方法，代数式的变形技巧，属于中等题. 6．（2020·浙江高一月考）已知，若，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 分析：通过变形，利用基本不等式的性质，即可得出答案. 详解：设，则， ，即 整理得：当且仅当 当且仅当时取. 解得或（舍去）即当时，取得最小值8. 故选C. 点睛：本题考查基本不等式，灵活变形和熟练掌握基本不等式的性质，正确把握“一正，二定，三相等”是解题关键. 7．（2020·浙江高二开学考试）已知，，且，则的最小值为___________， 的最大值为___________. 【答案】9 【分析】 记为，展开利用基本不等式进行求解；先利用基本不等式求出的范围，即可根据不等式的性质求得的范围. 【详解】 因为，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为9. 因为，当且仅当时 ，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：9； 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 8．（2020·浙江高三专题练习） 设，，，则的最小值为__________. 【答案】. 【分析】 把分子展开化为，再利用基本不等式求最值． 【详解】 由，得，得 ， 等号当且仅当，即时成立． 故所求的最小值为． 【点睛】 使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 9．（2020·青海湟川中学高一期末）已知，，且，则最小值为__________． 【答案】 【分析】 首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值. 【详解】 ， 结合可知原式， 且 ， 当且仅当时等号成立. 即最小值为. 【点睛】 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 10．（2020·湖南娄底一中高二期中）当时，的最小值为______. 【答案】 【分析】 将所求代数式变形为，然后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】 ，，由基本不等式得. 当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】 本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题. 11．（2019·贵州省铜仁第一中学（理））已知，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据知，且，所以， 故，化简后利用均值不等式即可求解. 【详解】 因为知，又，所以，而 ，经检验等号成立,故填. 【点睛】 本题主要考查了均值不等式，考查了数学式子的变形化简，对计算能力要求较高，属于中档题. 12．（2020·江苏省西亭高级中学高一期末）某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为 _____________ ； 【答案】20吨 【分析】 依题意写出表达式，均值不等式求最小值． 【详解】 由题意，总