突破2.1 等式的性质与不等式的性质（重难点突破）-【新教材优创】突破满分数学之2021-2022学年高一数学重难点突破+课时训练 （人教A版2019必修第一册）

突破2.1 等式的性质与不等式的性质 一、考情分析 二、考点梳理 重难点1 一元一次函数与一元一次不等式 1、形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数。 （1）它的图象是一条斜率为k，过点（0，b）的直线； （2）k>0是增函数；k<0是减函数。 2、一元一次不等式ax>b的解的情况： （1）当a>0时，； （2）当a<0时，； （3）当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。 3、一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）的图象所经过的象限有四种情况： ①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k<0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k<0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限． 一次函数y=kx+b (k≠0)中，|k|越大，直线y=kx+b越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；|k|越小，直线y=kx+b越靠近x轴，即直线与x轴的夹角越小 重难点2 分式方程、分式不等式 1、分式方程的解法 ①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法． (2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去． 说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法． 2、分式不等式的解法：  分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． 3、可化为一元二次方程的分式方程 1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程 简单分式不等式的解法 重难点3 绝对值不等式 1、a>0时， ①；②或x>a 2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号． 对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得 或；． 三、题型突破 重难点题型突破1 等式与不等式的性质 例1．（1）（2018·全国高一专题练习）若，则下列不等式错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴，故A对； ∵，∴，，∴，故B错； ∵，∴，即，∴，故C对； ∵，∴，∴，即，故D对；故选B． （2）（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由不等式的性质可知，若，则： ，，， .故选：C. （3）．（2021·全国高一专题练习）若，则下列不等式错误的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】 解：对A，， ，故A正确； 对B，， ， 即， ，故B错误； 对C，， ， 即， 即，故C正确， 对D，， ， 即，即，故D正确. 故选：B. （4）．（2021·全国高一课前预习）设， ，给出下列四个结论： ①；②；③；④． 正确的结论有_________．（写出所有正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】 根据不等式的性质证明判断． 【详解】 ，则，又，所以，①正确； ， ，则，②正确； 由②，，即，③错误； ，，又，所以，④正确． 故答案为：①②④ 【点睛】 本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的性质是解题关键． 【变式训练1-1】．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】若，则,故B错， 设,则，所以C、D错，故选A 【变式训练1-2】．（2021·丽水外国语实验学校高一月考）(多选题)已知，则下列不等式不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】 根据不等式的性质和特殊值逐项判断即可. 【详解】 对于A选项，取，可得，A错； 对于B选项，取，可得，B错； 对于C选项，取可知，C错； 对于D选项，由题意可知，则，因为，所以，，D对. 故选：ABC. 【变式训练1-3】．（2021·全国高一单元测试）（多选题）若，下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】 根据不等式的性质判断各选项． 【详解】 A选项，，∴，不成立， B选项，，不成立， C选项，∵，∴，成立， D选项，由，∴，即，不成立， 故选：ABD. 【变式训练1-4】．（2020·全国高三专题练习（理））用不等号填空： （1）若，则________； （2）若，，则______