专题22.12 一元二次方程的根与系数的关系（拓展提高）-【挑战满分】2021-2022学年九年级数学上册拔尖题精选精练（华东师大版）

专题22.12 一元二次方程的根与系数的关系（拓展提高） 一、单选题 1．一元二次方程 的根的情况是（ ） A．有两个正的实数根 B．有两个负的实数根 C．两根的符号相反 D．方程没有实数根 【答案】C 【分析】判断方程的根的情况，可由根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号判断根的存在，用x1+x2，x1•x2的符号判断两根的符号关系． 【详解】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）＝49＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵x1•x2＝ ＜0， ∴方程两根的符号相反． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 2．已知a，b是方程 的两个实数根，则 的值是（ ） A．2025 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解与根与系数的关系计算即可； 【详解】∵a，b是方程 的两个实数根， ∴ ， ， ∴ ； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解与根与系数的关键，准确计算是解题的关键． 3．一元二次方程 和 这两个方程的所有实数根之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，即可求解． 【详解】解：设一元二次方程 的两个根为：x1和x2， ∴x1+x2=1， ∵ 中，∆= ， ∴该方程无解， ∴这两个方程的所有实数根之和为1， 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系以及判别式，熟练掌握 （a≠0）的两根之和x1+x2= ，是解题的关键． 4．若ab≠1，且有 ，及 ，则 的值是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察两个式子，可把两个式子整理成形式相同的式子，然后根据根与系数的关系可以求出所求代数式的值． 【详解】解： ， ， ， ， 又 ， ， 故a和 可看成方程 的两根， 再运用根与系数的关系得 ， 即 ． 故选A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、等式的性质，解题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式． 5．如果 ， 是一元二次方程 的两个实数根，那么 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根与系数关系定理，方程根的定义代入计算即可． 【详解】∵ａ，ｂ是一元二次方程 的两个实数根， ∴ａ＋ｂ＝6， ， ∴ ＝2007＋6 ＝2013． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系定理，熟练掌握根与系数的关系定理是解题的关键． 6．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（　　）个． ①方程x2+5x+6＝0是倍根方程： ②若pq＝2，则关于x的方程px2+4x+q＝0是倍根方程； ③若（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程，则18m2+15mn+2n2＝0； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，且3a+b＝0，则方程ax2+bx+c＝0的一个根为1 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①解得方程后即可利用倍根方程的定义进行判断；②已知条件 ，然后解方程 即可得到正确的结论．③根据 是倍根方程，且且 ， ，得到 ，或 ，从而得到 ， ，进而得到 正确；④利用“倍根方程”的定义进行解答． 【详解】解：①解方程 得： ， ， 方程 不是倍根方程，故①错误； ② ， 解方程 得： ， ， ，故②错误； ③ 是倍根方程，且 ， ， ，或 ， ， ， ，故③正确； ④ 方程 是倍根方程， 设 ， ∵3a+b=0， ， ， ，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键． 二、填空题 7．若关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则另一个根是_________． 【答案】-2 【分析】把-1代入方程求m，再把m代回方程，解方程即可；或用根与系数关系可求． 【详解】解：方法一，把-1代入方程 ，得， ， 解得，m=2， 代入原方程得， ， 解得， ， 故答案为：-2； 方法二，设另一个根是a， 根据根与系数关系，a×（-1）=2， a=-2， 故答案为：-2 【点睛】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数关系，选择不同方法解题，体现思维的灵活性，准确把握知识是解题关键． 8．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值____