专题4 空间向量及其运算的坐标表示-2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修一） 专题4 空间向量及其运算的坐标表示 题型一 空间向量的坐标表示 1．已知、，设点、在平面上的射影分别为、，则向量的坐标为________． 【答案】 【解析】点、在平面上的射影分别为、， ∴向量的坐标为． 故答案为：. 2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___.  【答案】 【解析】因为，所以向量的坐标为. 因为， 所以向量的坐标为. 因为，所以向量的坐标为. 故答案为：；； 3．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 【答案】＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)． 【解析】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示． 则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)， ∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)． 题型二 空间向量的坐标运算 4．已知，点Q在直线OP上，那么当取得最小值时，点Q的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 由点在直线上，可得存在实数使得， 即，可得, 所以, 则， 根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时. 故选：C. 5．设，，为空间的三个不同向量，如果λ1+λ2+λ3＝0成立的等价条件为λ1＝λ2＝λ3＝0，则称，，线性无关，否则称它们线性相关.若＝（2，1，﹣3），＝（1，0，2），＝（1，﹣1，m）线性相关，则m＝（ ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】A 【解析】解：依题意知，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x，y，z，使得成立； 即 由，得， 代入，得（m﹣9）z＝0； 由于x，y，z不全为0， 所以z≠0， 所以m＝9. 故选：A. 题型三 空间向量模长的坐标表示 6．已知，，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【解析】解析：设向量的夹角为θ，，， 于是＝．由此可得． 所以以为邻边的平行四边形的面积为. 故选：A 7．设，向量且，则（ ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，所以存在使得， 所以，解得，所以， 因为，所以，得，所以， 所以， 所以. 故选：C 8．设空间两个不同的单位向量，与向量的夹角都等于． （1）求和的值； （2）求的大小． 【答案】（1）；；（2）． 【解析】（1）∵，∴、，又∵与的夹角为， ∴， ∴， 另外， ∴，； （2）， 由（1）知，， ∴、是方程的解，∴或， 同理或， ∵，∴或， ∴， ∵，∴． 9．已知空间中三点，，.设，. （1）求､； （2）若与互相垂直，求实数的值. 【答案】（1），；（2）. 【解析】解：（1）因为，，.，. 所以， （2） ∵ ∴ ∴ ∴ 题型四 空间向量平行的坐标表示 10．若＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解析：设，则=k，即，即“”可推出“”； 又若＝时，＝(0，0，0)，虽有成立，但条件显然不成立， 所以“”推不出“”，故“”是“”充分不必要条件. 故选：A． 11．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴， ∴，解得，， ∴． 故选：C． 12．已知，，且，则的值为（ ）. A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】，4，， ，3，， ， 存在实数使得， ，解得，． ． 故选：． 题型五 空间向量垂直的坐标表示 13．如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，， ， ， ，的最大值为. 故答案为： 14．已知，． （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）求确定、的值使得与轴垂直，且． 【答案】（1）；（2）；（3），． 【解析】（1）因为，， 所以. （2）∵，， ∴， ∴与夹角的余弦值为， （3）取轴上的单位向量，， 依题意， 即， 故， 解得，． 15．正方体A