专题3 空间向量基本定理-2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修一） 专题3 空间向量基本定理 题型一 对空间向量基本定理的解读 1．下列结论错误的是（ ）. A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C．若､是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底 D．若､､不能构成空间的一个基底，则､､､四点共面 【答案】C 【解析】A选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A正确； B选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B正确； C选项，∵ 满足，∴，，共面，不能构成基底，故C错误， D选项，因为､､共起点，若，，，四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D正确， 故选C. 2．设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】，，，共面， ①，，不能作为空间向量的一个基底． ，，，，，不共面， ②，，可作为空间向量的一个基底． 同理，，，不共面，，，不共面， ③，，；④，，都可作为空间向量的一个基底． 故选:C． 3．已知O，A，B，C为空间的四个点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C是否共面？ 【答案】O，A，B，C四点共面. 【解析】因为向量，，不构成空间的一个基底， 所以向量，，共面， 由向量，，有公共点O， 所以O，A，B，C四点共面. 4．如图，已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，． （1）是否构成空间的一个基底？ （2）如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：，，，． 【答案】（1）能；（2）；；； 【解析】（1），，不在同一平面内，且不为零向量，能构成空间的一个基底； （2）， ， ， . 5．已知，，为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一组基底？若能，试以此基底表示向量；若不能，请说明理由. 【答案】能，． 【解析】解：假设存在不全为0的实数，，使得成立， 则，此方程组无解， 即不存在不全为0的实数，，使得成立， 因此假设不成立． 因此能以作为空间的一组基底． 设则有 因为，，为空间的一个基底，所以解得 故 题型二 空间向量基本定理的应用 6．已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，表示向量 是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： 故选：． 7．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点， 为的重心，可得， 而， ， 所以，， 所以，，因此，. 故选：C. 8．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设，E，F分别是AD1，BD的中点． （1）用向量表示，； （2）若，求实数x，y，z的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】解：（1）, （2） 所以 9．如图，已知空间四边形，分别是边的中点，点在上，且，设，，，试用表示向量. 【答案】. 【解析】 所以： 10．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____． 【答案】x=，y=，z=． 【解析】∵=+=+=+ += ∴x=，y=，z=． 故答案为：x=，y=，z=． 题型三 应用空间向量基本定理解决平行和垂直问题 11．如图所示的平行六面体中，已知 ，N为上一点，且 .若，则的值为 ________ ；若M为棱的中点，平面，则 的值为 ________ . 【答案】 【解析】①取空间中一组基底：， 因为，所以， 因为， 所以，所以，所以； ②在上取一点使得，连接， 因为且，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，且， 所以平面平面，所以平面， 又因为平面平面，且平面， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：，. 12．已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. （1）求证：，，，四点共面； （2）求证：平面； （3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解 【解析】（1）如图，连接 则 由共面向量定理的推论，知，，，四点共面 （2）∵△ABD中，分别是边，的中点，即EH为中位线 ∴，又面，面 ∴平面 （3）由（2）知，同理 ∴，即四边形是平行四边形 ∴对角线，交于一点且