专题2 空间向量的数量积运算-2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修一） 专题2 空间向量的数量积运算 题型一 空间向量数量积运算 1．在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】． 故选B． 2．已知空间向量满足，则的值为________． 【答案】 【解析】由两边平方得， 所以， . 故答案为： 3．如图，正方体的棱长为1，设，，，求： （1）；（2）；（3）． 【答案】（1）0；（2）1；（3）1 【解析】（1）在正方体中，， 故 （2）由（1）知， （3）由（1）及知， 题型二 利用数量积求夹角 4．已知是夹角为60°的两个单位向量，则=+与b=-2的夹角是（ ） A．60° B．120° C．30° D．90° 【答案】B 【解析】由题意得=(+)·(2)==， ||=， ||=. =. °. 故选:B. 5．在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与所成角的余弦值． 【答案】 【解析】， ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16， ∴ 故答案为： 6．已知＝(5,3,1)，＝且与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－. 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0且〈a，b〉≠180°. 由a·b＜0，得3t－＜0，所以t＜. 若a与b的夹角为180°，则存在λ＜0，使a＝λb(λ＜0)， 即(5,3,1)＝λ，所以 解得t＝－. 所以t的取值范围是∪. 题型三 利用数量积证明垂直关系 7．如图所示，已知是所在平面外一点，，求证：在平面上的射影是的垂心． 【答案】证明见解析 【解析】∵， ∴，，，平面， ∴． 由题意可知，平面， ∴，，， ∴， ∴． 同理可证，． ∴是的垂心． 8．用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条直线垂直（三垂线） 【答案】证明见解析； 【解析】如图所示，在平面内，是在面内的投影向量，则， 由题知，， 则， 故，所以，即证得结论. 9．已知四面体OABC，，．求证：． 【答案】证明见解析. 【解析】 因为, 所以, 因为，， 所以， 所以，即. 10．如图所示，在四棱锥中，底面，，E是的中点．证明： （1）； （2）平面． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】证明：（1）因为底面，所以，所以，又，所以，又，所以，所以． （2）设，因为，，所以．又，所以，得． 因为 ，，所以，又，所以平面． 题型四 利用数量积求距离 11．如图，在平行四边形中，，，，沿着它的对角线将折起，使与成角，求此时，之间的距离． 【答案】或 【解析】因为， 所以，． 因为与成角， 所以或． 因为， 所以， 所以． 当时，，即； 当时，，即． 综上，可知，之间的距离为或． 12．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6．求PC的长． 【答案】7 【解析】解：因为，所以 ， 所以． 故PC的长为7． 13．如图，已知线段平面，平面，且，D与A在的同侧，若，求A，D两点间的距离. 【答案】. 【解析】 因为平面，平面，所以 ， ，所以与的夹角为， 因为，， 所以 ，所以，即A，D两点间的距离为. 14．在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长. 【答案】7 【解析】 因为, 所以||2==()2 =||2+||2+||2+2+2+2 =62+42+32+2||||cos 120° =61-12=49, 所以||=7,即PC=7. 15．如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将△ACD沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离. 【答案】2或 【解析】∵∠ACD=90°， ∴·=0．同理·=0． ∵在三棱锥A-BCD中，AB与CD成60°角， ∴<，>=60°或<，>=120°． 又=++， ∴||2=·=||2+||2+||2+2·+2·+2·=3+2×1×1×cos<，>． 当<，>=60°时，||2=4； 当<，>=120°时，||2=2． ∴||=2或||=， 即B，D间的距离为2或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修一） 专题2 空间向量的数量积运算 题型一 空间向量数量积运算 1．在棱长为的正方体中，设，，