专题12 函数的奇偶性-2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学题型解读与训练（人教A版2019） 专题12 函数的奇偶性 题型一 函数奇偶性的判断 1．（多选）已知函数，则（ ） A．的极值点不止一个 B．的最小值为 C．的图象关于轴对称 D．在上单调递减 【答案】BCD 【解析】因为， ，所以， 函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数，它的图象关于轴对称，C选项正确； 当时，函数单调递增；当时，函数单调递减. 所以，函数的极值点有且只有一个，A选项错误，D选项正确； 由上可知，，B选项正确. 故选：BCD. 2．（多选）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】BC 【解析】∵是奇函数，是偶函数，∴是偶函数，是偶函数.根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得为奇函数，为奇函数，故选项A错误、C正确；由两个偶函数的和还是偶函数知B正确；由为奇函数得为偶函数，故D错误. 故选BC. 3．若函数f(x)满足f(logax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1). (1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性； (2)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围． 【答案】（1）见解析．（2）[2－，1)∪(1,2＋]． 【解析】 (1)令logax＝t(t∈R)，则x＝at， ∴f(t)＝ (at－a－t)． ∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)． ∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． 当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且＞0， ∴f(x)为增函数． 当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且＜0， ∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数． (2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数． 由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数， 只需f(2)－4≤0，即 (a2－a－2)≤4. ∴ ()≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0， ∴2－≤a≤2＋.又a≠1， ∴a的取值范围为[2－，1)∪(1,2＋]． 4．根据定义，判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）既是奇函数也是偶函数；（2）奇函数；（3）奇函数；（4）奇函数. 【解析】（1）由可得函数的定义域为， 且，，所以且， 所以函数既是奇函数也是偶函数； （2）由题意的定义域为，且， 当时，此时，； 当时，此时，； 总有，故函数为奇函数； （3）由可得且， 所以函数的定义域为， 所以， 所以， 所以函数为奇函数； （4）因为的解集为， 所以函数的定义域为R， 对于任意的，有 ， 所以， 所以函数为奇函数. 题型二 由奇偶性求函数解析式 5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中. （1）求函数的解析式; （2）若函数在区间不单调，求出实数的取值范围; （3）当时，若，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】解：（1）由是定义在上的奇函数，所以； 又时，， 所以时，，所以 所以的解析式为； （2）①若，由图在上递增； ②，在上先减再增 综上，； （3）当时，，可得函数是定义域上的单调增函数 又是定义域上的奇函数， 由，不等式成立，可得 ， . 6．已知函数是定义域在上的奇函数，当时， （1）求出函数在上的解析式； （2）写出函数的单调区间（写出即可，不需要证明）； 【答案】（1）（2）单调递增是,单调递减. 【解析】（1）设，则， 又是定义在上的奇函数 ，又 （2） 画出函数 的图象，如下图， 由图可知函数 单调递增区间是 ， 单调递减区间是. 7．函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）设，，求函数的值域； （2）当时，若，求实数的值． 【答案】（1）；（2），或，或. 【解析】（1）设时，则， 因为是定义在上的奇函数，且时，， 所以，即， 因为， 所以 所以当时，得关于直线对称，在上递增，在上递减， 所以，得， 当时，由奇函数关于原点对称，得． 所以的值域为； （2）由（1）知，， 所以时，， i）当时，令，解得或； ii）当时，令，解得或（舍去） 综上：或或 8．已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）若函数在区间上是单调增函数，求实数的取值范围； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）2；（2）；（3）. 【解析】（1）设，则，所以， 是奇函数，， ， （2）的图象如图 函数在区间上单调递增， ， . （3）由可得，即， 当时，由图像可得：， 当时，由图像可得：， 综上： 题型三 函数奇偶性的应用 9．已知定义在上的函数满