专题九 解三角形及其应用-2022届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏等新高考地区专用 适用于高考复习）

专题九 解三角形及其应用 第I卷（选择题） 一、单选题 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，外接圆半径为R，若，且△ABC的面积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由结合正弦定理①，由△ABC的面积为，进而得，即，代入①得，，再由余弦定理即可得出答案. 【详解】 解：因为， 所以由正弦定理得，①， 因为△ABC的面积为， 所以， 所以，代入①得，， 由余弦定理得， 故选：D. 2．在面积为的中；内角、、所对的边分别为、、，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 首先利用公式，转化和，得，再根据正弦定理边角互化，转化条件得，即得，再结合余弦定理，代入求值. 【详解】 由，有，有，有，有，又由，有，有，有，有，有． 故选：D 3．在中，，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意和三角形的面积公式求出c，再由余弦定理求出a的值，代入化简即可． 【详解】 因为，，， 所以，解得， 由余弦定理得，， 则，所以， 故选：C 4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，若A＝2B，则的最小值为（ ） A．－1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】 根据正弦定理，结合三角形内的隐含条件及三角恒等变换得出，从而利用均值不等式求最小值. 【详解】 因为A＝2B，,所以由正弦定理，得 ， 因为A＝2B，所以， 所以 ，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 5．已知的内角所对的边分别为，若，则的形状一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】 根据边角互化得，再结合，化简整理得，进而得或，即的形状一定是等腰或直角三角形. 【详解】 解：因为， 所以由正弦定理边角互化得， 因为， ， 所以， 整理得 所以， 所以或， 因为， 所以或，即的形状一定是等腰或直角三角形 故选：D 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2acosB．则△ABC的形状一定为（ ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】 首先根据正弦定理，边角互化，再结合两角和差正弦公式化简，即可判断的形状. 【详解】 ，根据正弦定理可知， ，， ，即， 所以，即是等腰三角形. 故选：B 7．在中，角、、所对的边分别为，，，的面积为，则（ ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值 【答案】C 【分析】 根据三角形的面积公式可得出，从而得出A错误；根据余弦定理和可得出B错误；可得出，进而得出，从而判断C正确；可得出，从而判断D错误. 【详解】 ∵的面积为， ∴， ∴，∴A错误； 根据余弦定理，，且， ∴，∴B错误； ， ∴， ∴，且， ∴的最大值为，∴C正确； ∵，∴的最大值为1，∴D错误. 故选：C. 8．给出下列4个命题：①若，则是等腰三角形；②，则是直角三角形；③若，则是钝角三角形；④若，则是等边三角形.其中正确的命题是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】 对①②，举反例分析即可；对③，根据余弦的正负值分析；对④，根据余弦函数的值域分析 【详解】 对①，当时满足，此时是直角三角形，故①错误； 对②，当，时满足，但不是直角三角形，故②错误； 对③，若，则因为，故中有一个为负，另外两个为正，故其中有个角是钝角，故③正确； 对④，若，则因为余弦函数的值域为，且，故，此时，故，故④正确 故选：D 【点睛】 与解三角形有关的判断时，注意内角和为、正余弦函数在的正负与值域等 9．在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】 由，结合化简可求出，再由正弦定理结合可得，从而可求得，再由角的范围和正弦函数的性质可求出其最小值 【详解】 ∵， ∴， ∴，，由正弦定理知，，， 又． ∴， ∴， 又，∴，∴． 故选：B 10．在中分别是的对边，，若且，则的面积为（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】 由三角形内角和定理及诱导公式可得，，再利用正弦定理，将已知等式中的角化边，可得，然后利用余弦定理，可得的值，最后由三角形的面积公式即可求解． 【详解】 解：在中，由，即， ， ， ， 由正弦定理得， ，， ， ，化简得， 又由余弦定理得， ，即，解得或（舍）， 的面积． 故选：B． 11．在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC的长（ ） A．4 B．7 C．9 D．1 【答案】C 【分析】 在中，结合余弦定理得，在中，结