4.4 数学归纳法-2021-2022学年高二数学尖子生同步培优题典（苏教版2019选择性必修第一册）

4.4 数学归纳法 提示：本卷题型为8（单选）+4（多选 ）+4（填空）+6（解答） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．用数学归纳法证明 ，第一步验证（ ） A．n=1 B．n=2 C．n=3 D．n=4 【答案】C 【分析】 由数学归纳法的一般步骤，第一步需要验证 取第一个值时命题是否成立. 【详解】 由题知， 即n的最小值为3， ∴第一步验证n=3时，不等式是否成立. 故选：C 2．用数学归纳法证明： ， 时，在第二步证明从 到 成立时，左边增加的项数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 当 成立，写出左侧的表达式，当 时，写出对应的关系式，观察计算即可． 【详解】 从 到 成立时，左边增加的项为 ，因此增加的项数是 ， 故选A. 3．用数学归纳法证明下列等式： ．要验证当 时等式成立，其左边的式子应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 结合题意直接代入当n=1时，即可得到结果. 【详解】 由题意，当 时， 左边 故选：C 4．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1- +…+ =2 时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（ ） A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立 C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立 【答案】B 【分析】 直接利用数学归纳法的证明方法，判断选项即可． 【详解】 解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设 为偶数）时命题为真， 则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即 时等式成立， 不是 ，因为 是偶数， 是奇数， 故选： ． 5．用数学归纳法证明命题“当n为奇数时， 能被 整除”，在证明 正确后，归纳假设应写成（ ）． A．假设 时命题成立 B．假设 时命题成立 C．假设 时命题成立 D．假设 时命题成立 【答案】D 【分析】 在第一步中已验证了 时等式成立，根据数学归纳法的证题步骤要求，第二步所取的值的范围应从 开始取值所有奇数，即 ． 【详解】 解：此题所成立的数是所有的正奇数，根据数学归纳法的证题步骤要求，第二步所取的值的范围应从 开始取值所有奇数，即 ． 故选：D． 【点睛】 本题考查了用数学归纳法证明的原理，归纳假设要含已验证的第一个取值，推理才有基础和依据，属于容易题. 6．用数学归纳法证明： ，当 时，左式为 ，当 时，左式为 ，则 应该是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据题意表示出 和 ，然后代入计算 即可. 【详解】 由题意， ， ，所以 . 故选：B. 7．用数学归纳法证明等式 （n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 试题分析：由数学归纳法知第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到 考点：推理与证明 8．已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且 ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 直接利用递推关系式和猜想法求出数列的通项公式，最后利用数学归纳法进行证明，进一步求出结果． 【详解】 解：数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn （n≥2）， 则： ， 所以： ， ， 当n＝2时， ， 当n＝3时， ， … 猜想： ， 下面用数学归纳法来证明： ①当n＝1时， ， ②当n＝k时， ， 则当n＝k+1时， ， 综上所述： ． 所以： ． 故选A． 【点睛】 本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列的通项公式，数学归纳法的应用． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．一个与正整数 有关的命题，当 时命题成立，且由 时命题成立可以推得 时命题也成立，则下列说法正确的是（ ） A．该命题对于 时命题成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与 取值无关 D．以上答案都不对 【答案】AB 【分析】 利用数学归纳法原理可判断各选项的正误. 【详解】 命题对于 时成立，那么它对于 也成立， 若当 时命题成立，则对 时命题成立，从而对 时命题成立， 假设当 时命题成立，则当 时命题也成立， 因此，该命题对于所有的正偶数都成立，当 为奇数时，无法确定该命题的真假. 故选：AB. 10．对于不等式 ，某同学用数学归纳法证明的过程如下： ①当 时， ，不等式成立； ②假设当 时，不等式成立，即 ， 则当 时， EMBED Equation.DSMT4 . 故当 时，不等式成立. 则上述证法错误的是（ ） A．过程全部正确 B． 的验证不