2.3.2 圆的一般方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教B版）

2．3.2　圆的一般方程 课程标准 素养解读 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径 2.会在不同条件下求圆的一般式方程 1. 通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养 2.通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养 [情境引入] 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得：x2＋y2－2ax－2bx＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式． 请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题． [知识梳理] [知识点]　圆的一般方程　 1．(1)圆的一般方程的概念： 当　D2＋E2－4F＞0　时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． (2)圆的一般方程对应的圆心和半径： 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为　. ，半径长为　 1.所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆吗？ [提示]　不是，只有当D2＋E2－4F>0时才表示圆． 2．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论 ①D2＋E2－4F＞0时表示　圆　. ②D2＋E2－4F＝0时表示点. ③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． 2.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？ [提示]　A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(　　) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．(　　) (3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(　　) (4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：D　[－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．]＝2，－ 3．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为　________　. 解析：因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝. ，∴m＝＝ 答案： 　　　圆的一般方程的认识 [例1]　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径． [思路点拨]　可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数． 解：(方法1)由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2. 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|. ＝ (方法2)原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆， 此时，圆的圆心为(2m，－m), 半径为r＝|m－2|. 二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法： (1)计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形． (2)将该方程配方为(x＋，根据圆的标准方程来判断．)2＝)2＋(y＋ [变式训练] 1．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 解：(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<， 故m的取值范围为(－∞，)． (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. 　　　求圆的一般方程 [例2]　已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径． [解]　法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， ∵A，B，C在圆上， ∴∴ ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二：∵kAB＝＝