知识点04 函数的奇偶性-【提升专练】2021-2022学年高一数学新教材同步学案+课时对点练（苏教版2019必修第一册）

知识点4函数的奇偶性 学习过程 1.偶函数和奇函数的定义 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数的定义域为______ 如果对于任意的xA，都有-xA，并且，那么称函数______是偶函数 如果对于任意的xA，都有-xA，并且，那么称函数x=是______ 注意： （1）不是所有的函数都是奇函数或偶函数，我们称那些既不是奇函数又不是偶函数的函数为非奇非偶函数 （2）奇（偶）函数的定义域关于原点对称，换言之，如果所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性 2.理解函数的奇偶性应关注三点 (1)函数的单调性是函数的“______”性质，而奇偶性是函数的“______”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是____________． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有______. (3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的______． 3.奇、偶函数的图象特征 ①奇函数的图象特征 若一个函数是奇函数，则这个雨数的图象是以______为对称中心的中心对称图形; 反之,若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是______. ②偶函数的图象特征 若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以______为对称轴的轴对称图形; 反之,若一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是______. 4.奇、偶函数的单调性 (1 )奇函数在关于原点对称的区间上有______的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上有______的单调性. (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为______;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. 5.利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用______求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的______和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造______或______以便于求值． 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f ”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域． 参考答案 1.A x= 奇函数 2.局部 整体 奇(偶)函数 f(0)＝0 实数集 3.原点 奇函数 y轴 偶函数 4.相同 相反 相反数 5.待定系数法 端点 奇函数 偶函数 题型探究 探究一、利用函数的单调性与奇偶性比较大小 例题1 若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 例题2 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 反思感悟 比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上 (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 课时对点练 1、 选择题 1．定义在上的函数满足:对任意有，则 A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 2．设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数 C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数 3．已知，则在区间上的最大值和最小值之和等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知函数为偶函数，当时，，则的解集是（ ） A． B． C． D． 5．若偶函数在区间上为增函数，且，则满足的实数x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f（1）＝，f(x＋2)＝f(x)＋f（2），则f（5）等于（ ） A．0 B．1 C． D．5 2、 填空题 7．为定义在上的偶函数，在区间上是增函数，则不等式的解集为___________. 8．已知函数的定义域为R，则下列命题中： ①若是偶函数，则函数的图象关于直线对称； ②若，则函数的图象关于原点对称； ③函数与函数的图象关于直线对称； ④函数与函数的图象关于直线对称．