1.1集合 1.1.2集合的基本关系（知识梳理+题型归纳） -2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合 1.1.2 集合的基本关系 知识梳理.集合的基本关系 1．子集 (1)概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集． (2)记法：A⊆B(或B⊇A) (3)读法：A包含于B(或“B包含A”) (4)如果A不是B的子集，记作A⊈B(或B⊉A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”)． (5)性质：A⊆A；∅⊆A. 2．真子集 (1)概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集． (2)记法：AB(或BA) (3)读法：A真包含于B(或“B真包含A”) (4)性质：对于集合A，B，C，①如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；②如果AB，BC，则AC． 3．集合的相等与子集的关系 (1)一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”． (2) 由集合相等以及子集的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A． 4. 集合子集、真子集的个数 假设集合A中含有n个元素，则有： 1．A的子集的个数为2n个； 2．A的真子集的个数为2n－1个； 3．A的非空真子集的个数为2n－2个． 【例】指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝(－1,5)，B＝(0,5)； (2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}； (3)A＝{x|x2－x＝0}，B＝ (4)A＝{(x，y)|xy>0}，B＝{(x，y)|x>0，y>0或x<0，y<0}． 【答案】 (1) BA (2) BA (3) A＝B (4) A＝B 【解析】　(1)在数轴上标出区间A，B，如图所示． 故BA． (2)∵A是偶数集，B是4的倍数集，∴BA． (3)A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．在B中，当n为奇数时， x＝＝0，当n为偶数时，x＝＝1，∴B＝{0,1}，∴A＝B． (4)方法一：由xy>0得x>0，y>0或x<0，y<0； 由x>0，y>0或x<0，y<0得xy>0，从而A＝B． 方法二：集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点， 集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，从而A＝B． 题型一. 集合间关系的判断 1．下列四个命题：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B． 【解析】解：对于①Φ不含任何元素而{0}含元素0，故①错 对于②空集是本身的子集，故②错 对于③空集的子集只有其本身，故③错 对于④，空集是任何一个集合的子集．是任何非空集合的真子集，故④对 故选：B． 2．已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x⊆A}，则集合A与集合B的关系正确的是（　　） A．A⊆B B．A⫋B C．A＝B D．A∈B 【答案】D． 【解析】解：由题意知， B＝{x|x⊆A}＝{∅，{1}，{2}，{1，2}}， 故A∈B； 故选：D． 3．设集合M＝{x|x，k∈Z}，N＝{x|x，k∈Z}，则（　　） A．M＝N B．M⫋N C．N⫋M D．M∩N＝∅ 【答案】B． 【解析】解：∵若x∈M，则x，k∈Z，2k﹣1∈Z， 即M中元素都是N中元素； 所以，M⊆N． 而当k＝﹣2时，0∈N，0∉M ∴M⫋N 故选：B． 4．已知集合M＝{（x，y）|x+y＞0且xy＞0}，T＝{（x，y）|x＞0，y＞0}，则M与T的关系是（　　） A．T⊆M B．T＝M C．M⊆T D．M⫋T且T⫋M 【答案】B． 【解析】解：∵xy＞0 ∴x，y同号 又∵x+y＞0 ∴x＞0，y＞0 反之当x＞0，y＞0时，x+y＞0且xy＞0 故T＝M 故选：B． 5．已知集合A＝{x|x＝1+a2，a∈R}，B＝{y|y＝a2﹣4a+5，a∈R}，则集合A与B的关系为　A＝B　． 【答案】A＝B． 【解析】解：由集合A： 得 x＝1+a2，a∈R， ∴x＝1+a2≥1， ∴A＝{x|x≥1}， 由集合B： y＝a2﹣4a+5，a∈R， ∴y＝a2﹣4a+5＝（a﹣2）2+1≥1， ∴B＝{y|y≥1}， ∴A＝B， 故答案为A＝B． 6．已知集合A＝{x∈R|x2﹣3x+4＝0}，B＝{x∈R|（x+1）（x2+3x﹣4）＝0}，要使A⫋P⊆B，求满足条件的集合P． 【答案】见解析． 【解析】解：由于方程x2﹣3x+4＝0的判别式△＝9﹣16＝﹣7＜0，知A＝∅， 由（x+1）（x2+3x﹣4）＝0得，x+1＝0或x2+3x﹣4＝0，解