1.1集合 1.1.1 集合及其表示方法（知识梳理+题型归纳） -2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法 知识梳理.集合的概念 1．元素与集合的概念 (1)集合：把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集)，通常用英文大写字母A，B，C，…表示． (2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示． (3)元素的特性 ①确定性：集合的元素必须是确定的； ②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的． ③无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关. 2．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A中的元素 a∈A a属于A 不属于 a不是集合A中的元素 a∉A a不属于A 3．空集 (1)定义：不含任何元素的集合． (2)符号：∅． 4．常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 5.集合的分类 (1)集合 (2)空集是有限集． 【例】2021年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由． (1)你所在班级中全体同学； (2)班级中比较高的同学； (3)班级中身高超过178 cm的同学； (4)班级中比较胖的同学； (5)班级中体重超过75 kg的同学； (6)学习成绩比较好的同学． 【答案】 见解析 【解析】 (1)班级中全体同学是确定的，所以可以构成一个集合． (2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (3)因为“身高超过178 cm”是确定的，所以可以构成一个集合． (4)因为“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (5)因为“体重超过75 kg”是确定的，可以构成一个集合． (6)因为“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． 知识梳理.集合的表示方法 1．列举法 把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法． 2．描述法 一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法． 3．区间的概念及表示 (1)区间的定义及表示 设a，b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)无穷的概念及无穷区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 4．图示法 （1）数轴 （2）韦恩图 【例】选择适当的方法表示下列集合： (1)大于1且小于8的有理数； (2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； (3)方程(x2－9)x＝0的实数解组成的集合； (4)100以内被3除余1的正整数． 【答案】 见解析 【解析】 (1)大于1且小于8的有理数有无数个，用描述法表示为{x∈Q|1＜x＜8}． (2)集合的元素是点，点有无数个，用描述法表示为{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}． (3)方程(x2－9)x＝0的实数解有三个－3,0,3，集合用列举法表示为{－3,0,3}，也可以用描述法表示为{x|(x2－9)x＝0}． (4)100以内被3除余1的正整数用列举法表示为{1,4,7,10,13，…，100}，用描述法表示为{x|x＝3k＋1，k∈N，x≤100}． 题型一. 集合与元素的概念 考点1.集合的概念 1．下列说法正确的是（　　） A．某班年龄较小的同学能够组成一个集合 B．分别有1，2，3和组成的集合不相等 C．不超过20的非负数组成一个集合 D．方程（x﹣1）（x+1）2＝0的所有解构成的集合中有3个元素 【答案】 C 【解析】解：对于A，不满足集合的确定性，故A错 对于B，3，2，故有1，2，3和组成的集合相等，故B错 对于D，方程（x﹣1）（x+1）2＝0的所有解有1，﹣1，故D错 故选：C． 2．下面有三个命题，正确命题的个数为（　　） （1）集合N中最小的数是1； （2）若﹣a不属于N