第四节 导数的应用-2022年高考数学一轮复习同步备课学案+题型考点分析+课时训练+真题演练

第四节 导数的应用 【要点归纳】 一、导数在实际生活中的应用 1．利用导数解决有关函数的最大值、最小值的实际问题，体现在以下几个方面： (1)与几何有关的最值问题(求几何图形或几何体的面积与体积的最值)； (2)与物理学有关的最值问题； (3)与利润及其成本有关的最值问题． 2．优化问题：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 3．利用导数求优化问题的步骤． (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小．最大(小)者为最大(小)值． 二、利用导数研究不等式的有关问题 1．利用导数证明不等式成立问题的常用方法 (1)直接将不等式转化成某个函数最值问题 若证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)． (2)将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明 在证明不等式中，若待证不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可借助两个函数的最值证明，如要证f(x)≥g(x)在D上成立，只需证明f(x)min≥g(x)max即可． 2．不等式在某个区间上恒成立(存在性成立)问题的转化途径 (1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a，；存在x使f(x)≥a成立⇔f(x)max≥a. (2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b，存在x使f(x)≤b成立⇔f(x)min≤b. (3)f(x)>g(x)恒成立⇔ F(x(＝f(x(－g(x(⇔F(x)min>0. (4)①任意x1∈M，任意x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)max； ②任意x1∈M，存在x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)min； ③存在x1∈M，存在x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)min； ④存在x1∈M，任意x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)max..　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.两个经典不等式的活用 逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证．利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程． (1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立． (2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立． 进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1)． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课时训练】 第四节 导数的应用 1．若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则下列命题正确的是(　　) A．3f(1)<f(3)　 B．3f(1)<f(3) C．2f(2)>f(4) D．3f(3)<f(9) 【解析】 由于f(x)>xf′(x)，则[，即3f(1)>f(3)．同理2f(2)>f(4)，3f(3)>f(9)，选C. <在R上是单调递减函数，∴<0恒成立，因此]′＝ 【答案】 C 2．(2020·台州市模拟)已知y＝f(x)为R上的连续可导函数，且xf′(x)＋f(x)＞0，则函数g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)的零点个数为(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．0或1 D．无数个 【解析】 因为g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)，g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g(0)＝1，y＝f(x)为R上的连续可导函数，所以g(x)为(0，＋∞)上的连续可导函数，g(x)＞g(0)＝1，所以g(x)在(0，＋∞)上无零点． 【答案】 A 3．已知函数f(x)＝x＋ ，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2 【解析】 由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2，3])，因为f(x)min＝5，g(x)min＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1，故选A． 【答案】 A 4．(2020·江西七校联考)已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋的零点个数是(　　)>0，则函数F(x)＝x·f(x)－ A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 函数F(x)＝x