专题04 两条直线的位置关系、距离公式（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题04 两条直线的位置关系、距离公式 一、考情分析 二、考点梳理 一、两条直线的交点坐标 1．基础知识 几何元素及关系 代数表示 点M 直线l 不同时为0) 点M在直线l上 直线与的交点是M 方程组的解是_______ 2．两条直线的交点 已知两条不重合的直线不同时为0),不同时为0)，如果这两条直线相交，则交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个直线方程的唯一公共解；如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点必是和的 ____________. 3．两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的联系 直线与的位置关系 相交 重合 平行 直线与的公共点个数 一个 无数个 零个 方程组的解 _______ _______ 无解 二、两点间的距离 平面上任意两点间的距离公式为 . 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离. 三、点到直线的距离 1．点到直线的距离 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的 . 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离为 . 四、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间 的长. 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线(其中A与B不同时为0，且)间的距离 . 五、对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称. 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题. 设点关于点M(a,b)的对称点为P′(x,y),则有，所以，即点 .特别地,点P关于坐标原点O的对称点为. 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为,则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系: ①（直线l的斜率存在且不为零）；②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即. 常见的点关于直线的对称点： ①点关于x轴的对称点 ； ②点关于y轴的对称点 ； ③点关于直线y=x的对称点 ； ④点关于直线y=−x的对称点 ； ⑤点关于直线x=m(m≠0)的对称点； ⑥点关于直线y=n(n≠0)的对称点. 3．直线关于直线对称 （1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质： ①若与相交，则直线l是、夹角的平分线； ②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等； ③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l,且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）.充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法. 学科￥网 （2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0, ①l关于x轴对称的直线是 ; ②l关于y轴对称的直线是 ; ③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0; ④l关于直线y=−x对称的直线是A(−y)+B(−x)+C=0 三、题型突破 (一) 直线的交点问题 例1．（1）（2020·广西高二学业考试）设直线与直线的交点为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 联立两直线方程，求出交点坐标即可. 【详解】 由题意知， ， 所以点P的坐标为 故选：B （2）．（2021·海原县第一中学高一期末）直线和的交点为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 联立直线方程解得，写出点的坐标. 【详解】 解：由得，所以交点为 故选：B. 【变式训练1-1】．（2021·扶风县法门高中高一期末）求过和的交点，且与直线垂直的直线方程． 【答案】 【分析】 解方程组可得两直线的交点，再由垂直，确定直线斜率，利用直线点斜式，求得直线方程. 【详解】 解方程组， 得，即交点． 直线的斜率， 所求直线的斜率是. 故所求直线的方程是，即. 故答案为：. 【变式训练1-2】．（2021·全国高二专题练习）已知直线与直线垂直，那么与的交点坐标是______________. 【答案】 【分析】 先根据直线垂直得，再联立方程即可得答案. 【详解】 解：根据两条直线垂直的充要条件得：，解得， 所以，与直线联立方程解方程得：，. 所以与的交点坐标是. 故答案为： 【点睛】 对于直线（不同时为零），直线（不同时为零）； 当直线时