广东省汕头市金山中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题

2021-2022年度第一学期高二年级数学科学科核心素养测试参考答案 一、单项选择题：AADA BDCC 二、多项选择题：9．AC 10．ACD 11．BCD 12．ACD 三、填空题： 充分不必要 4 （1，＋∞） 17．【详解】（1）选择①： 由正弦定理得，， 由得， 即． 又，∴， 又， ∴． 选择②： 由选择条件可得 由余弦定理 得， 又， ∴． （2）因为 ∴，即，∴， 又由余弦定理，化简得， 即， 所以， 所以的周长为． 18．【详解】（1） ， 所以的最小正周期为 （2）因为，所以， 所以当即时，取得最大值为， 此时， 所以当时，取得最大值. 19．解：（1）因为，所以； 又因为时间数据的第百分位数为， 所以，则， 于是， 所以平均值为； （2）由于第二组和第四组的频率之比为：， 那么分层抽样抽取的个人中，来自第二组共有个人，设为，第四组共有个人，设为， 则从个人中任选人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共个， 其中人来自不同组的事件有，，，，，，，共个， 故所求概率为. 20．【详解】（1）依题意知第10天该商品的日销售收入为 ，解得. （2）由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选②. ，，可得，解得： （3）由（2）知 ∴ 当时，在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增， 所以当时，取得最小值，且; 当时，是单调递减的，所以当时，取得最小值，且. 综上所述，当时，取得最小值，且. 故该商品的日销售收入的最小值为121元. 21．【详解】（1）连接，底面是菱形，是正三角形． 点是边的中点， 平面． （2）过在平面内做于，连接， 由（1）知面， 为在面内的射影．直线与平面所成角的大小为． 为正三角形，． 在中，． 为二面角的平面角， 在中，． 故二面角的大小为． 22．解：（1）∵, ∴. 又为偶函数,为奇函数, ∴, , ∴,. （2）存在满足条件的正整数n. 由题意可知：为奇函数,其图象关于中心对称, ∴函数的图象关于点中心对称, 即对,. ∵, ∴. 两式相加,得 , 即. ∴. 由,得,. ∵, ∴, 由此可得恒成立. 即对任意的恒成立. 令,,,则, ,,且, 则 ∵,,∴. 则在上单调递增, ∴在上单调递增,