专题03 直线的倾斜角与斜率、直线方程（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题03 直线的倾斜角与斜率、直线方程 一、考情分析 二、考点梳理 知识点1．直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角与斜率的关系 (1).倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°. (2).倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在． 当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大． 当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大． 2..求直线斜率的公式 经过两点的直线的斜率公式为 . 【名师提醒】 （1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况. （2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换. （3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时. 知识点2. 直线方程 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y1＝k(x－x1) 不能表示与x轴垂直的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示与x轴垂直的直线 两点式 ＝ 不能表示与坐标轴垂直的直线 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 适合所有的直线 知识点3. 直线的一般式与斜截式、截距式的互化 直线的一般式、斜截式、截距式如下表： 一般式 斜截式 截距式 不同时为0) 都不为0) 直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化： （1）当时,可化为,它表示在y轴上的截距为 ,斜率为 的直线. （2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为 ，在y轴上的截距为 的直线. 知识点4. 直线系方程 1．平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 2．垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为 (其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 知识点5. 一般式方程中两直线平行与垂直的条件 若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,， 则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下： （1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且. 即,且或. （2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.即 三、题型突破 重难点突破1 求直线的倾斜角与斜率 （1）已知倾斜角求斜率时，若，根据公式直接计算.当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入计算. （2）已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式直接计算. 例1．（1）（2021·全国高二专题练习）（多选题）下列说法中，正确的是（ ） A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 B．一条直线的倾斜角为 C．若直线的倾斜角为，则 D．任意直线都有倾斜角，且时，斜率为 【答案】CD 【分析】 根据题意，由直线的倾斜角、斜率的定义，依次分析选项，综合即可得答案． 【详解】 根据题意，依次分析选项： 对于，直线的倾斜角为，当时，斜率不存在，错误； 对于，直线的倾斜角的范围为，，错误； 对于，直线的倾斜角的范围为，，则有，正确； 对于，任意直线都有倾斜角，且时，斜率为，正确； 故选：． 【点睛】 本题考查直线的倾斜角、斜率，注意倾斜角、斜率的关系，属于基础题． （2）．（2021·全国高二课时练习）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 求得倾斜角的正切值即得． 【详解】 k=tan120°=. 故选：B． 【变式训练1-1】．（2021·浙江高二单元测试）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由斜率即可求出倾斜角. 【详解】 设直线的倾斜角为， 则，，. 故选：C. 【变式训练1-2】．（2021·全国高二课时练习）已知、两点，直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 作出图形，求出当直线分别经过点、时，直线的斜率的值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】 直线恒过点， 则直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知直线的斜率的取值范围是， 故选：C. 【点睛】 在求直线斜率时，要注意对直线的倾斜角是锐角、钝角或直角进行分类讨论，必要时可结合正切函数图象来理解.