专题02 空间向量在立体几何中的应用（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题02 空间向量在立体几何中的应用 一、考情分析 二、考点梳理 1．空间中的点与空间向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量． 【名师提醒】：空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定． 2．空间中的直线与空间向量 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l． (1)如果A、B是直线l上两个不同的点，则v＝，即为直线l的一个方向向量． 思考1：直线l的方向向量唯一吗？直线l的方向向量之间有怎样的关系？ 【名师提醒】：直线l的方向向量不唯一，若v为直线的方向向量，则λv(λ≠0)也为直线l的方向向量，直线l的任意两个方向向量都平行． 思考2：空间中的直线l的位置由v能确定吗？ 【名师提醒】：空间中直线l的位置可由v和直线上的一个点唯一确定． (2)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合． 3．空间中两条直线所成的角 (1)设v1、v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，所以sin θ＝sin〈v1，v2〉，cos θ＝|cos〈v1，v2〉|． (2)〈v1，v2〉＝⇔l1⊥l2⇔v1·v2＝0． 4．异面直线与空间向量 设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量． (1)若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行． (2)若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为相交或异面． 【名师提醒】：“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件． (3)若A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，v1，v2，不共面．若v1，v2，不共面，则l1与l2异面． 【名师提醒】：“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件． (4)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2．则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． 5．平面的法向量 (1)如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α． 思考1：平面α的法向量有多少个？它们之间什么关系？ 【名师提醒】：　无数个　平行 思考2：一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？ 【名师提醒】：垂直 (2)平面的法向量的性质 ①如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量． ②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行． ③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即n·＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． (3)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔l⊥α，n⊥v⇔l∥α，或l⊂α． (4)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔α1⊥α2，n1∥n2⇔α1∥α2或α1与α2重合． 6．三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 提醒：定理中的已知直线必须是已知平面内的直线． 7．直线和平面所成的角 8．最小角定理 9．用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－，特别地cos θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cos〈v，n〉|． 思考：直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？ [提示]　不是．直线和平面的夹角为． 10．二面角的概念 (1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面． (2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α­l­β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A­l­B，二面角的范围为[0，π]． (3)二面角的平面角：在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别