专题02 空间向量在立体几何中的应用（课时训练）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题02 平面向量的概念及线性运算 A组 基础巩固 1．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（ ） A．5 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】 以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，平面A1BCD1的法向量为＝(a，b，c)，先根据，即求出法向量，然后由向量法求点到面的距离公式可得点B1到平面A1BCD1的距离，又B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离即为点B1到平面A1BCD1的距离. 【详解】 解：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，平面A1BCD1的法向量为＝(a，b，c)， 则C(0，12，0)，D1(0，0，5),,， 由，得， 所以a＝0，b＝c，取＝(0，5，12)， 又＝(0，0，－5)， 所以点B1到平面A1BCD1的距离为， 因为B1C1∥BC，BC平面A1BCD1，B1C1平面A1BCD1， 所以B1C1∥平面A1BCD1， 所以B1C1到平面A1BCD1的距离即为点B1到平面A1BCD1的距离， 所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为， 故选：C. 2．如图，在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱垂直于底面，且，则与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 建立空间坐标系，写出直线的方向向量，利用向量夹角公式可求答案. 【详解】 取AC中点为O,以O为原点，以所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设， 则 所以 由向量夹角公式得 又由异面直线夹角的范围可知，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 3．如图，正方体的棱长为2，点在上，点在上，且，面，则的长为（ ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】 根据几何体为正方体，先以为坐标原点建立空间直角坐标系，再根据平面，得与平面的法向量垂直，利用垂直关系的坐标表示，求出点的坐标，进而求得的长. 【详解】 因为该几何体为正方体，所以以为坐标原点， 为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为2，所以，， 平面的一个法向量为. 因为点在上，且，所以点. 因为点在上，所以设，则， 因为平面，所以， 有，，故， . 故选：A. 4．如图，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为θ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用直接求解． 【详解】 ∵点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上， ，平面的法向量为， 二面角的大小为θ， 故选：C． 5．如图，在正方体中，E是棱CD上的动点．则下列结论不正确的是（ ） A．平面 B． C．直线AE与所成角的范围为 D．二面角的大小为 【答案】C 【分析】 由平面平面，平面，即可判断A；建立空间直角坐标系计算即可判断选项B；求的范围即可判断选项C；先找出二面角的平面角为即可判断选项D，进而可得正确选项． 【详解】 对于选项A：因为平面平面，平面， 所以平面，故选项A正确； 如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，， ，，，对于选项B：，， 因为，所以，即， 故选项B正确； 对于选项C：，，设直线与所成角为， 则， 当时最大等于，此时最小为， 当时最小等于0，此时最大为，所以， 即直线与所成角的范围为，故选项C不正确； 对于选项D：二面角即二面角， 因为，， 平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，，所以二面角的大小为， 故选项D正确， 故选：C. 6．在三棱锥中，平面平面，，，，，，则的长为___________. 【答案】 【分析】 建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用两点间距离公式求得结果. 【详解】 平面平面，平面平面，，平面，平面， 建立以为原点,平行于BC做轴，AC为轴，SA为轴作空间直角坐标系， 则，， ∴. 故答案为：11. 7．已知，，则直线和所成角的余弦值是__________． 【答案】 【分析】 利用向量夹角余弦函数公式直接求解即可． 【详解】 设直线和所成角为， ，1，，，0，， ． 直线和所成角的余弦值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查向量夹角余弦函数公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为棱上的一点，且，则点G到平面的距离为_________． 【答案】 【分析】 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量