专题01 空间向量及其运算（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题01 空间向量及其运算 一、考情分析 二、考点梳理 1．空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||． ②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…． 【几类特殊的向量】 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？ 【名师提醒】　空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面． 2．空间向量的线性运算 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 　 图1　　　　　　　　图2 (1)如图1，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b． (2)如图2，＋＋＝． 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中： ①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反． ②当λ＝0或a＝0时，λa＝0． (4)空间向量的线性运算满足如下运算律： 对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb． 3．空间向量的数量积 (1)空间向量的夹角 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b． (2)空间向量数量积的定义： 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b． (3)数量积的几何意义 ①向量的投影 如图所示， 过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′. ②数量积的几何意义： a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. (4)空间向量数量积的性质： ①a⊥b⇔a·b＝0； ②a·a＝|a|2＝a2； ③|a·b|≤|a||b|； ④(λa)·b＝λ(a·b)； ⑤a·b＝b·a(交换律)； 4．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． 思考1：平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？ 【名师提醒】平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立． 5．空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0． 6．空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量． 思考1：若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？ 【名师提醒】　不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是． 7．空间向量的运算与坐标的关系 假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论： (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； (2)若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)； (3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2； (4)|a|＝＝； (5)当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝． 8．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 (1)当a≠0时，a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔，当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔＝＝． (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z