专题01 空间向量及其运算（课时训练）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题01 平面向量的概念及线性运算 A组 基础巩固 1．（2021·湖南长郡中学高二期末）已知向量 ， 如果 ，那么 等于（ ） A． B．1 C． D．5 【答案】B 【分析】 利用空间向量共线的条件求解即可 【详解】 ， ， ， 故选：B 2．（2021·全国高二课时练习）正方体中，点是侧面的中心，若，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用空间向量的线性运算直接计算即可. 【详解】 ， 则、、，则， 故选：B 3．（2021·四川省大竹中学高二月考（理））如图，在平行六面体中，，，则（ ） A．1 B． C．9 D．3 【答案】D 【分析】 根据图形，利用向量的加法法则得到， 再利用求的模长. 【详解】 在平行六面体中， 有，， 由题知，，，，， 所以，，与的夹角为， 与的夹角为，与的夹角为， 所以 . 所以. 故选：D. 4．（2020·辽宁高二期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，，则用基底表示向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 结合空间向量的加法法则直接求解即可. 【详解】 连接BD，如图，因为E是PD的中点，所以 ， 故选：B 5．（2020·运城市景胜中学高二月考（理））如图圆锥的高，底面直径是圆上一点，且，则与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用向量数量积即可求得与夹角的余弦值． 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系得： ，，， 设的夹角为， 又 则 因为 即SA与BC所成角的余弦值为 故选A． 【点睛】 本题考查了空间向量的数量积的运算及利用空间向量求异面直线的夹角，属中档题． 6．（2021·浙江高一期末）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则下列说法错误的是 A．与垂直 B．与垂直 C．与平行 D．与平行 【答案】D 【分析】 先利用三角形中位线定理证明，再利用线面垂直的判定定理定义证明与垂直，由异面直线所成的角的定义证明与垂直，即可得出结论. 【详解】 如图：连接，， 在三角形中，，故C正确． 平面，，与垂直，故A正确； ，，与垂直，B正确； ∵，与不可能平行，D错误 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键. 7．（2020·江苏常州高级中学高二期中）（多选题）下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】 根据四点共面的充要条件，若A，B，C，P四点共面，对选项逐一分析，即可得到答案. 【详解】 对于A，由，，所以点P与A，B，C三点共面. 对于B，由，，所以点P与A，B，C三点共面. 对于C，由，，所以点P与A，B，C三点不共面. 对于D，由，得，而，所以点P与A，B，C三点不共面. 故选：AB 【点睛】 关键点睛：本题主要考查四点共面的条件，解题的关键是熟悉四点A，B，C，P共面的充要条件，考查学生的推理能力与转化思想，属于基础题. 8．（2021·广东汕头市·高二期末）若，，且，则实数______________. 【答案】 【分析】 题目考察向量数量积的坐标运算，向量垂直，即数量积等于0，从而求出参数的值 【详解】 ，，因为，所以，即，解得： 故答案为： 9．（2020·大连市第二十三中学高二月考）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______． 【答案】 【分析】 根据四点共面的充要条件即可求出t的值. 【详解】 P，A，B，C四点共面，且， ，解得. 故答案为: 【点睛】 本题考查四点共面，掌握向量共面的充要条件是解题的关键，属于基础题. 10．（2020·全国高二课时练习）已知，若三向量共面，则实数=_____. 【答案】 【分析】 由题意结合向量基本定理得到方程组，求解方程组即可确定的值. 【详解】 由题意可知，存在实数满足：， 据此可得方程组：，求解方程组可得：. 故答案为． 【点睛】 本题主要考查空间向量基本定理，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．（2021·全国高二课时练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点， 设． （1）试用表示出向量； （2）求的长． 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）根据向量加法法则，得 再根据正方形中，结合代入化简即得用表示向量的式子； （2）由题意得的模长分别为1、1、2，利用数量积公式结合题中角度算出 代入 的表示式算出，从而得到的长等于．