课时分层作业11 基本不等式的应用-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(十一)　基本不等式的应用 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A．2　　　　 B．a　　　　 C.　　 D．3 D　[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＋1＝3.]＋1≥2＝a－1＋ 2．已知y＝x＋－2(x<0)，则y有(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 C　[∵x<0，∴y＝－，即x＝－1时取等号．]－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝ 3．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是(　　) A．3 B．－3 C．3－2 D．－1 C　[∵x＞0，∴y＝3－时，等号成立．]，且x＞0，即x＝.当且仅当3x＝＝3－2≤3－2 4．若x＞0，y＞0，且＝1，则x＋y的最小值是(　　) ＋ A．3 B．6 C．9 D．12 C　[x＋y＝(x＋y)＋4＋＝1＋ ＝5＋＝5＋4＝9.≥5＋2＋ 当且仅当 即时等号成立，故x＋y的最小值为9.] 5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 B　[(1＋x)(1＋y)≤ ＝＝25，＝ 当且仅当1＋x＝1＋y， 即x＝y＝4时， (1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.] 二、填空题 6．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________． [答案]　1 7．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2. 56　[设阴影部分的高为 x dm，则宽为dm，四周空白部分的面积是y dm2. 由题意，得y＝(x＋4)－72 ＝8＋2＝56(dm2)．≥8＋2×2 当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立．] 8．若a，b∈R＋，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________． a＋b≥6　[∵a＋b＋3＝ab≤， ∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解之a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．] 三、解答题 9．当x<的最大值． 时，求函数y＝x＋ [解]　y＝＋(2x－3)＋ ＝－，＋ ∵当x<时，3－2x>0， ∴.，故函数有最大值－＝－时取等号．于是y≤－4＋，即x＝－＝＝4，当且仅当≥2＋ 10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：千元，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用) [解]　设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得 y＝2x－＝118－ ＝118－[4(x＋3)＋－12] ＝130－[4(x＋3)＋] ≤130－2＝130－112＝18(千元)， 当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号． 所以提前11天，能使公司获得最大附加效益． 11．若－4<x<1，则y＝(　　) A．有最小值1　　　 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1 D　[y＝，＝ 又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0. 故y＝－≤－1. 当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．] 12．已知x>0，y>0，且＝1，若x＋2y>m2恒成立，则实数m的取值范围是(　　) ＋ A．m≤－2 B．m≤－4或m≥2 或m≥2 C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2 D　[∵x>0，y>0且＝1，＋ ∴x＋2y＝(x＋2y)＋＝4＋ ≥4＋2，＝＝8，当且仅当 即x＝4，y＝2时取等号， ∴x＋2y的最小值为8，要使x＋2y>m2恒成立， 只需x＋2y的最小值大于m2恒成立， 即8>m2，解得－2.]<m<2 13．(一题两空)若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________，的最小值为________． ＋ ，＝4　9　[1＝x＋4y≥2 ∴xy≤时等号成立．，当且仅当x＝4y＝ ＝5＋4＝9.]≥5＋2＋(x＋4y)＝5＋＝＋ 14．(一题两空)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值是________，x＋y的最大值是________． .　[∵x2＋y2＋xy≥2xy＋xy＝3xy，∴3xy≤1，即xy≤　 x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤(x＋y)2≤1.＋1.∴ ∴x＋y≤时等号成立．]，当且仅当x＝y＝ 15．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝，试求这两个数．