课时分层作业10 基本不等式-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(十)　基本不等式 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t　　　 B．s>t C．s≤t D．s<t A　[∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.] 2．下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥2 D．x2＋≥ D　[a＜0，则a＋≥4不成立，故A错； a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错； a＝4，b＝16，则，故C错；＜ 由基本不等式可知D项正确．] 3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是(　　) A．ab≤ B．ab≤ C.≤ D．≥ D　[由基本不等式知A，C正确，由重要不等式知B正确，由，故选D.]≥，∴≥ab得，ab≤ 4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　) A．a＞b＞ ＞ B．a＞＞b＞ C．a＞＞b＞ D.a＞＞b＞ B　[a＝＝b，因此只有B项正确．]＞＞＞ 5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A.≤1 ＋ B.＞ C.≤≥2 D． D　[由＝2得ab≤4，≤ ∴，故A错；≥ B中，≥1，故B错；＝＝＋ 由a＋b＝4，得＝2，故C错；＝≤ 由＝8，得a2＋b2≥2×≥ ∴，D正确．]≤ 二、填空题 6．已知a＞b＞c，则的大小关系是________． 与 　[∵a＞b＞c，≤ ∴a－b＞0，b－c＞0， ∴.]＝≤ 7．已知a，b是不相等的正数，x＝，则x，y的大小关系是________． ，y＝ x<y　[x2＝.，y2＝a＋b＝ ∵a＋b>2(a≠b)，∴x2<y2，∵x＞0，y>0，∴x<y.] 8．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式：①ab≤1；②≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________(填序号)． ＋；③a2＋b2≥2；④≤＋ ①③④　[因为a＞0，b＞0，a＋b＝2，所以a＋b＝2≥2≥2，所以④正确．](a＋b)＝1＋＝＋≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥2，所以③正确；＝2＋2)2＝a＋b＋2＋≤1，即ab≤1，所以①正确；因为(，所以 三、解答题 9．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1.求证：≥4. ＋ [证明]　＋＝＋ ＝1＋＋1＋ ＝2＋＝4.≥2＋2＋ 当且仅当a＝b时“＝”成立． 10．已知a，b，c为正数，求证：≥3. ＋＋ [证明]　左边＝－1＋－1＋＋－1＋＋ ＝－3.＋＋ ∵a，b，c为正数， ∴≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；＋ ≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；＋ ≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．＋ 从而≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．＋＋ ∴－3≥3，＋＋ 即≥3.＋＋ 11．(多选题)下列不等式不一定成立的是(　　) A．x＋≥≥2　 B． C.≥2 ≥2 D．2－3x－ ACD　[A项中，当x<0时，x＋<0<2，∴A错误． B项中，，∴B正确．≥＝ C项中，，－＝ 当x＝0时，<2，显然选项C不正确．＝ D项中，取x＝1,2－3x－<2，∴D错误．] 12．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　) A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3 C　[∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴ab≤＝1， 而4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)， ∴a2＋b2≥2.] 13．(一题两空)当x＝________时，x2＋取得最小值________． ±1　2　[∵x2＋＝2，≥2 当且仅当x2＝，即x＝±1时，等号成立．] 14．设a，b为非零实数，给出不等式： ①2； ≥≥ab；② ③≥2. ＋；④≥ 其中恒成立的不等式是________． ①②　[由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确； ≥＝＝ ＝，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]＝－＝－1，右边为，故②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝ 15．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞. ＋＋ [证明]　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴，≥，≥，≥ ∴，＋＋≥＋＋ 即a＋b＋c≥.＋＋ 由于a，b，c不全相等， ∴等号不成立， ∴a＋b＋c＞.＋＋ 1 $