第2章 2.2 第1课时 基本不等式-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小. 1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养. 如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车． 问题：依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？ 提示：由图可知 ①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab； ②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”． 基本不等式 (1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的几何平均数． 叫做正数a，b的算术平均数，把 (2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即，当且仅当a＝b时，等号成立． ≤ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．(　　) (2)若a≠0，则a＋＝2. (　　) ≥2 (3)若a>0，b>0，则ab≤. (　　) [提示]　(1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立． (2)只有当a>0时，根据基本不等式，才有不等式a＋＝2成立．≥2 (3)因为.，所以ab≤≤ [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1　　　 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 B　[当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，“＝”成立．] 3．已知0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，下列各式中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b D　[∵0＜a＜1,0＜b＜1，∴a2＜a，b2＜b， ∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)， ∴2ab＜a2＋b2＜a＋b. 又∵a＋b＞2(∵a≠b)，∴a＋b最大．] 4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号)． ①；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. ；②a－b≥2≥ ③　[根据成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]≥≥ab， 对基本不等式的理解 【例1】　给出下面四个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＝2； ≥2＋ ②∵a∈R，a≠0，∴＝4； ＋a≥2 ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＝－2. ≤－2＝－＋ 其中正确的推导为(　　) A．①②　　　　 B．①③ C．②③ D．①②③ B　[①∵a，b为正实数，∴为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．， ②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， ∴＝4是错误的．＋a≥2 ③由xy＜0，得均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]，提出负号后，＋均为负数，但在推导过程中将整体， 1．基本不等式 (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．≤ 2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，⇒a＝b.＝的等号成立，即≥；仅当a＝b时，＝的等号成立，即a＝b⇒≤ 1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x＞1，则x＋＝2. ≥2 ②若x＜0，则x＋＝－ ≤－2＝－4. ③若a，b∈R，则＝2. ≥2＋ ②　[ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋时，即x＝1时，x＋ 利用基本不等式比较大小 【例2】　(1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2≥2 ＋ B. C.≥ D．≥2 (2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________． (1)D　(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac　[(1)由，得a＋b≥2≥ ∴A成立； ∵＝2，∴B成立；≥2＋ ∵，∴C成立；＝2≥ ∵，∴D不一定成立．＝≤ (2)∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)． 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.] 1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件． 2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 2．如果0＜a＜b＜1，P＝，那