第2章 2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

第2课时　等式性质与不等式性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握不等式的性质．(重点) 2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点) 3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异. 1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力． 2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养. 在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象． 问题：你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？ 提示：糖水变甜这一现象对应的不等式为，其中a＜b，c＞0.＜ 1．等式的性质 (1) 性质1：如果a＝b，那么b＝a； (2) 性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3) 性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4) 性质4：如果a＝b，那么ac＝bc； (5) 性质5：如果a＝b，c≠0，那么. ＝ 2．不等式的基本性质 (1)性质1：a＞b⇔b＜a. (2)性质2：a＞b，b＞c⇒a＞c. (3)性质3：a＞b⇔a＋c＞b＋c. (4)性质4：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc. (5)性质5：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d. (6)性质6：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. (7)性质7：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若a>b，则ac>bc一定成立． (　　) (2)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d. (　　) [提示]　(1)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立． (2)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b. [答案]　(1)×　(2)× 2．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是(　　) A．a－b＞d－c　 B．a＋d＞b＋c C．a－c＞b－c D．a－c＜a－d B　[根据不等式的性质．] 3．与a>b等价的不等式是(　　) A．|a|>|b| B．a2>b2 C.>1 D．a3>b3 D　[可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.] 4．用不等号“＞”或“＜”填空 (1)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac________bd； (2)如果a＞b＞0，那么； ________ (3)如果a＞b＞c＞0，那么. ________ (1)＜　(2)＜　(3)＜　[(1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，∴－ac＞－bd，即ac＜bd. (2)∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞0， ∴.＜ (3)∵a＞b＞0，∴0＜.＜ 又∵c＞0，∴.]＜ 利用不等式性质判断命题真假 【例1】　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则＞ C．若a＜b＜0，则＞ D．若a＞b，，则a＞0，b＜0 ＞ [思路点拨]　本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断． D　[法一：∵c2≥0，∴c＝0时， 有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a＞b＞0，有ab＞0⇒，＞⇒＞ 故B为假命题； ，＞⇒ 故C为假命题； ab＜0. ∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题． 法二：特殊值排除法． 取c＝0，则ac2＝bc2，故A错． 取a＝2，b＝1，则＝1.，＝ 有，故B错．＜ 取a＝－2，b＝－1， 则，故C错．＜＝2，有，＝ 故D为真命题．] 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 1．下列命题正确的是(　　) A．若a2＞b2，则a＞b B．若，则a＜b＞ C．若ac＞bc，则a＞b D．若，则a＜b＜ D　[A错，例如(－3)2＞22；B错，例如；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.故D正确．]＞ 利用不等式性质证明简单不等式 【例2】　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：. ＞ [思路点拨]　可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果． [证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0. ∴(a－c)2＞(b－d)2＞0. 两边同乘以， 得.＜ 又e＜0，∴.＞ 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1(利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并