第2章 2.1 第1课时 不等关系与不等式-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大小．(重点) 1. 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养． 2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养. 如图，在日常生活中，我们经常看到下列标志： 其含义分别为： ①最低限速：限制行驶时速v不得低于50 km/h； ②限制质量：装载总质量m不得超过10 t； ③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m； ④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m. 问题：你能用数学式子表示上述关系吗？ 提示：①v≥50；②m≤10；③h≤3.5；④a≤3. 1．不等关系 不等关系常用不等式来表示． 2．实数a，b的大小比较 文字语言 数学语言 等价条件 a－b是正数 a－b＞0 a＞b a－b等于零 a－b＝0 a＝b a－b是负数 a－b＜0 a＜b 3.重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. (　　) (2)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确． (　　) (3)若a>b，则ac>bc一定成立． (　　) [提示]　(1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的． (2)正确．不等式a≤b表示a<b或a＝b.故若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b一定正确． (3)错误．ac－bc＝(a－b)c，这与c的符号有关． [答案]　(1)√　(2)√　(3)× 2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A．v≤120 km/h且d≥10 m B．v≤120 km/h或d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m A　[v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.] 3．a与b的和是非负实数，可用不等式表示为________． a＋b≥0　[因为a与b的和是非负实数，所以a＋b≥0.] 4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________． M＞N　[M－N＝a2＋a＋1＝＞0，＋ ∴M＞N.] 用不等式(组)表示不等关系 【例1】　京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系． [解]　设复兴号列车速度为v1， 民航飞机速度为v2， 普通客车速度为v3. v1，v2的关系：2v1＋100≤v2， v1，v3的关系：v1＞3v3. 在用不等式(组(表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个(量之间不可用不等式(组(来表示.另外，在用不等式(组(表示实际问题时，一定要注意单位的统一. 1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系． [解]　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为(m)．＝ 因此菜园面积S＝x·， 依题意有S≥216，即x≥216， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 比较两数(式)的大小 【例2】　已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． ∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1. 作差法比较两个实数大小的基本步骤： 2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． [解]　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2) ＝x2＋x＋1 ＝.＋ ∵＞0.≥＋≥0，∴ ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0， ∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2. 不等关系的实际应用 【例3】　某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠． [解]　设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元， 则y1＝x＋nx.xn，y2＝x＋x·(n－1)＝ 所以y1