第4章 4.2 第2课时 指数函数的性质的应用-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

第2课时　指数函数的性质的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点) 2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点) 借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养. 利用指数函数的单调性比较大小 【例1】　比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)． [解]　(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值， 因为函数y＝0.6x在R上是减函数， 且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5. (3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1， 所以1.70.2>0.92.1. (4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3； 当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1<a0.3. 比较幂的大小的方法 (1(同底数幂比较大小时构造指数函数，根据函数的单调性比较. (2(指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小. (3(底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较. (4(当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论. 1．比较下列各值的大小：). ，)，)，2 [解]　先根据幂的特征，将这4个数分类： (1)负数：). )；(3)大于0且小于1的数：)，2；(2)大于1的数： (2)中，，比较对应函数值的大小，如图)，，x＝，y＝2x的图象，再分别取x＝) (也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝)<2)<2 故有). )<2)<< 利用指数函数的单调性解不等式 【例2】　(1)解不等式≤2； (2)已知ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，a≠1)，求x的取值范围． [解]　(1)∵2＝.≤，∴原不等式可以转化为 ∵y＝在R上是减函数， ∴3x－1≥－1，∴x≥0， 故原不等式的解集是{x|x≥0}． (2)分情况讨论： ①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是减函数， ∴x2－3x＋1>x＋6， ∴x2－4x－5>0， 根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5； ②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数， ∴x2－3x＋1<x＋6， ∴x2－4x－5<0， 根据相应二次函数的图象可得－1<x<5. 综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>5；当a>1时，－1<x<5. 1．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． 2．解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇔ 2．若ax＋1> (a>0且a≠1)，求x的取值范围． [解]　因为ax＋1>，所以ax＋1>a3x－5，当a>1时，y＝ax在R上为增函数，可得x＋1>3x－5，所以x<3； 当0<a<1时，y＝ax在R上为减函数，可得x＋1<3x－5，所以x>3. 综上，当a>1时，x的取值范围为(－∞，3)；当0<a<1时，x的取值范围为(3，＋∞)． 指数型函数单调性的综合应用 [探究问题] 1．试结合图象，分析y＝2－x，y＝2|x|，y＝的单调性，并写出相应单调区间． 提示： 2．结合探究1，分析函数y＝2|x|与函数y＝|x|的单调性是否一致？ 提示：y＝2|x|的单调性与y＝|x|的单调性一致． 3．函数y＝a (a>0，且a≠1)的单调性与y＝－x2的单调性存在怎样的关系？ 提示：分两类：(1)当a>1时，函数y＝a的单调性与y＝－x2的单调性一致； (2)当0<a<1时，函数y＝a的单调性与y＝－x2的单调性相反． 【例3】　判断f(x)＝的单调性，并求其值域． [思路点拨]　―→ ―→的单调性) eq \o(――――→,\s\up7(同增异减)) [解]　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减， ∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减． ∵u＝x2－2x＝(x－