第3章 3.2.1 第1课时 函数的单调性-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点) 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点) 3．会求一些具体函数的单调区间．(重点) 1.借助单调性的证明，培养逻辑推理素养． 2．利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养． 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据： 时间间隔t 刚记忆完毕 20分钟后 60分钟后 8～9小时后 1天后 2天后 6天后 一个月后 记忆量y (百分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图． 问题：(1)当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？ (2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？ 提示：(1)随着时间间隔t逐渐增大，函数值y逐渐变小，这个试验告诉我们，在以后的学习中，我们应及时复习刚学习过的知识． (2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线． 1．增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时 都有f(x1)＜f(x2) 都有f(x1)＞f(x2) 结论 那么就称函数f(x)在区间D上是增函数 那么就称函数f(x)在区间D上是减函数 图示 思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？ 提示：定义中的x1，x2有以下3个特征： (1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x1<x2； (3)属于同一个单调区间． 2．函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 思考2：函数y＝在定义域上是减函数吗？ 提示：不是．y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减． 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性． (　　) (2)若函数y＝f(x)在区间[1,3]上是减函数，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1,3]． (　　) (3)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)． (　　) (4)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数． (　　) (5)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是(　　) A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] C　[由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C.] 3．已知函数f(x)＝kx＋b，当k＞0时，f(x)在R上为________函数；当k＜0时，f(x)在R上为________函数．(填“增”或“减”) [答案]　增　减 4．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________． (－∞，1]　[因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1]．] 求函数的单调区间 【例1】　求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． (1)f(x)＝－；(2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. [解]　(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数． (2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数． (3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝ 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)． f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数