第3章 3.1.2 第2课时 分段函数-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

第2课时　分段函数 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点) 2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点) 3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点) 1.通过分段函数求值问题培养数学运算素养． 2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养． 教材P68－例6，求得函数M(x)的解析式为M(x)＝ 问题：(1)函数M(x)的解析式的个数是几？ (2)函数M(x)有什么特点？ 提示：(1)函数M(x)只有1个解析式． (2)当x≤－1，－1＜x≤0，x＞0时，函数M(x)的表达式不相同． 分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 思考：分段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)分段函数由几个函数构成． (　　) (2)函数f(x)＝是分段函数． (　　) [答案]　(1)×　(2)√ 2．下列给出的式子是分段函数的是(　　) ①f(x)＝ ②f(x)＝ ③f(x)＝ ④f(x)＝ A．①②　　　 B．①④　　　 C．②④　 D．③④ B　[结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.] 3．函数f(x)＝则f(f(4))＝________. 0　[∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0， ∴f(f(4))＝f(－1)＝0.] 4．函数r＝f(p)的图象如图所示，则它的定义域为________，值域为________． (图中，曲线l与直线m无限接近，但永不相交) [答案]　[－5,0]∪[2,6)　[0，＋∞) 分段函数的求值问题 【例1】　已知函数f(x)＝ (1)求f(－5)，f(－的值； )，f (2)若f(a)＝3，求实数a的值． [解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，∈(－2,2)，－ f(－.)＝3－2)2＋2×(－)＝(－ ∵f，＋1＝－＝－ 而－2<－<2， ∴f.－3＝－＝＋2×＝＝f (2)当a≤－2时，a＋1＝3， 即a＝2>－2，不合题意，舍去． 当－2<a<2时，a2＋2a＝3， 即a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0， 解得a＝1或a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)， ∴a＝1符合题意． 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2. 1．分段函数求函数值的方法： (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验． 1．函数f(x)＝则f(7)＝________. 8　[∵函数f(x)＝ ∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.] 分段函数的解析式 【例2】　某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． [解]　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]． 由题意得函数的解析式如下： y＝ 函数图象如图所示： 1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． 2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养． 2.如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象． [解]　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H. 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm， 所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm， 又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm