第3章 3.1.1 函数的概念-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 学 习 目 标 核 心 素 养 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点) 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点) 3．能够正确使用区间表示数集．(易混点) 1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养． 2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养． 3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养. 事物都是运动变化着的，我们可以感受到它们的变化． 早晨，太阳从东方冉冉升起； 气温随时间在悄悄地改变； 小树随着时间的变化不断长高； …… 在这些变化着的现象中，都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化． 问题：(1)怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系？ (2)这样的模型具有怎样的特征？ 提示：(1)用时间t来刻画气温的变化． (2)气温随着时间t的变化而变化． 1．函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A} 思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？ (2)f(x)与f(a)有何区别与联系？ 提示：(1)这种看法不对． 符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数． (2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数． 2．区间及有关概念 (1)一般区间的表示 设a，b是两个实数，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ (2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？ 提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号． 3．同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示． (　　) (2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]． (　　) (3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了． (　　) (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应． (　　) (5)函数的定义域和值域一定是无限集合． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．函数f(x)＝－1的定义域为________． ＋ {x|－3≤x≤1}　[由题意知，即－3≤x≤1.] 3．若f(x)＝，则f(3)＝________. －.]＝－　[f(3)＝ 4．用区间表示下列集合： (1){x|10≤x≤100}用区间表示为________； (2){x|x>1}用区间表示为________． (1)[10,100]　(2)(1，＋∞)　[结合区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为(1，＋∞)．] 函数的概念 【例1】　(1)下列对应关系是集合P上的函数的是________． ①P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元