第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合提升-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

[巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] 不等式的性质 【例1】　如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定成立的是(　　) A．ab＞ac　　 B．c(b－a)＞0 C．cb2＜ab2 D．ac(a－c)＜0 C　[c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0. 对于A：⇒ab＞ac，A正确． 对于B：⇒c(b－a)＞0，B正确． 对于C：⇒cb2≤ab2cb2＜ab2，C错，即C不一定成立． 对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确，故选C.] 式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩下的就是正确答案了. 1．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是(　　) A．ab>ac B．ac>bc C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2 A　[由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0， 又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选A.] 2．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________． －1≤a－b≤6　[∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6.] 基本不等式 【例2】　设x<－1，求y＝的最大值． [解]　∵x<－1，∴x＋1<0. ∴－(x＋1)>0， ∴y＝＝ ＝＋5＝(x＋1)＋ ＝－＋5 ≤－2＋5＝1， 当(x＋1)2＝4，即x＝－3时取“＝”．] 基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立. 3．若x，y为实数，且x＋2y＝4，则xy的最大值为________． 2　[xy＝＝2(当且仅当x＝2y，且x＋2y＝4，即x＝2，y＝1时取“＝”)．]··x·(2y)≤ 一元二次不等式的解法 【例3】　解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0. [解]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a. 函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以 (1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}； (2)当a＝－1时，原不等式解集为∅； (3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}． 解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图象、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论. 4．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，则m＝________. 2　[因为ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}， 所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根， 且m>1⇒]⇒ 不等式恒成立问题 【例4】　(1)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}都成立，则实数m的取值范围是________． (2)对任意－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围． (1)－＜m＜0　[由题意，得函数y＝x2＋mx－1在{x|m≤x≤m＋1}上的最大值小于0，又抛物线y＝x2＋mx－1开口向上， 所以只需 即＜m＜0.] 解得－ (2)[解]　由y＝x2＋(m－4)x＋4－2m ＝(x－2)m＋x2－4x＋4， g＝(x－2)m＋x2－4x＋4可看作以m为自变量的一次函数． 由题意知在－1≤m≤1上，g的值恒大于零， 所以 解得x＜1或x＞3. 故当x＜1或x＞3时，对任意的－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零． 对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种： (1(变更主元法,根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元. (2(转化法求参数范围,已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}， 则(1(y≥k恒成立⇒y＝ax2＋bx＋c的最小值大于等于k，即m≥k； (2(y≤k恒成立⇒y＝ax2＋bx＋c的最大值小于等于k，即n≤k. 5．若不等式ax2－2x＋2>0对于满足1<x<4的一切实数x恒成立，求实数a的取值范围． [解]　∵1<x<4， ∴不等式ax2－2x＋2>0可化为a>. 令y＝，且1<x<4， 则y＝，≤＋＝－2 当且仅当，，即x＝2时，函数y取得最大值＝ ∴a>即为所求． [培优层·素养升华] 【例】　某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄